Variations des fonctions de référence

I. La fonction carré

$1.$ La représentation graphique

$2.$ La démonstration des variations sur $\mathbb R^+$.

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs avec $a < b$.
Le taux d'accroissement de $f(x) = x^2$ entre $a$ et $b$ est le nombre :

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{b^2 - a^2}{b - a}$

On reconnaît une identité remarquable :

$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$

Donc : $\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = b + a$

Ainsi, le taux d’accroissement entre $a$ et $b$ pour la fonction carré est :

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = a + b$

Or, $a$ et$b$ sont strictement positifs, donc le taux est strictement positif et la fonction carré est strictement croissante sur $\mathbb R^+$.

On démontrerait de même que la fonction carré est strictement décroissante sur $\mathbb R^-$.

$3.$ Tableau de variations

$\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline &&&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty&\\ &&&&&& \\\hline\\ x\mapsto x^2&&\huge\searrow&&\huge\nearrow&&\\ &&&0&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}$

II. La fonction inverse

$1.$ La représentation graphique

$2.$ La démonstration des variations sur $\mathbb R^{+*}$

Le taux d’accroissement de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ entre $a$ et $b$ (avec $a < b$ et $a, b > 0$) est donné par :

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}$

On met au même dénominateur le numérateur :

$\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - b}{ab}$

Donc :

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{\frac{a - b}{ab}}{b - a}$

On remarque que $a - b = -(b - a)$, donc :

$\dfrac{\frac{a - b}{ab}}{b - a} = \dfrac{-1}{ab}$

Conclusion :
Le taux de variation entre $a$ et $b$ pour $f(x) = \frac{1}{x}$ est :

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{-1}{ab}$

Ce taux est négatif, ce qui confirme que la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$.

On démontrerait de même que la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb R^{-*}$.

$3.$ Tableau de variations

$\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline x&-\infty&&0&&+\infty&\\ \hline\\ x\mapsto \frac 1x&&\searrow&\Vert&\searrow&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}$

III. La fonction racine carrée

$1.$ La représentation graphique

$2.$ La démonstration des variations

Le taux de variation de $f(x) = \sqrt{x}$ entre $a$ et $b$ (avec $0 < a < b$) est :

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}$

On peut remarquer que ce taux est positif, car $\sqrt{b} > \sqrt{a}$ et $b - a > 0$.

$3.$ Tableau de variations

$\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline &&&&&&\\ x&0&&&&+\infty&\\ &&&&&& \\\hline\\ x\mapsto \sqrt x&&&\huge\nearrow&&&\\ &0&&&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}$