Triangles égaux, triangles semblables

I. Les triangles égaux

$1.$ Définition

Deux triangles égaux sont deux triangles qui ont les mêmes dimensions. On dit qu'ils sont superposables.

Remarque : les deux triangles sont superposables soit par glissement soit par glissement et retournement (comme sur cette figure).

2. Conséquence

3. Propriétés

Propriété 1

Les angles $A$ et $G$ ont même mesure.
L'angle $A$ est compris entre $AB$ et $AC$, qui ont respectivement même longueur que $FG$ et $GH$.

L'angle $G$ est compris entre les côtés $FG$ et $GH$.

Les deux triangles $ABC$ et $GFH$ sont égaux.

Propriété 2

Les côtés $AB$ et $FG$ ont même mesure.
Le côté $AB$ est compris entre les angle $A$ et $B$, respectivement de même mesure que les angles $G$ et $F$. Le côté $FG$ est compris entre les angles $G$ et $F$.
Les deux triangles $ABC$ et $GFH$ sont égaux.

II. Les triangles semblables

1. Définition

Deux triangles semblables sont deux triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure.

Exemple :

Montrons que ces deux triangles sont semblables.

$\widehat{BAC}$ et $\widehat{DE}F$ ont même mesure 45°
$\widehat{ABC}$ et $\widehat{FDE}$ ont même mesure 70°
On en déduit facilement que l'angle $\hat C$ du triangle ABC a pour mesure $180°-(70°+45°)=65°$
et que l'angle $\hat F$ du triangle FDE a la même mesure 65° (même démonstration).

Les triangles $ABC$ et $EDF$ sont semblables.

2. Sommets et angles homologues

On dit que les sommets A et E sont homologues, ainsi que les sommets B et D, et les sommets C et F.
De même, on dit que les angles A et E, B et D, C et F sont homologues.
Enfin, les côtés opposés à des angles homologues sont dits également homologues.

Sur cette figure, en face de l'angle de 70°, les côtés [AC] et [DF] sont homologues,
en face de l'angle de 45°, les côtés [BC] et [DF] sont homologues
et en face de l'angle de 65°, les côtés [AB] et [FE] sont homologues.

Propriété :

Si deux triangles ont deux angles deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont semblables.

3. Conséquence : les longueurs des côtés sont proportionnelles

Propriété

Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés sont proportionnelles.

Le coefficient de proportionnalité s'appelle coefficient d'agrandissement ou coefficient de réduction suivant le cas.

4. Propriétés

$1.$ Les triangles ABC et EDF sont semblables. On en déduit que :

$\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{AC}{EF}=\dfrac{BC}{DF}$

Conseil : Ecrire l'un sous l'autre le nom des deux triangles en superposant les sommets homologues (qu'on peut repérer à la valeur des angles).

$2.$ Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.

Remarque : les configurations de Thalès "triangles emboîtés" ou "papillon" nous fournissent des triangles semblables.

5. Exercice d'application

Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en I.

$1.$ Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BID}$ ?

$2.$ Démontrer que les triangles CIA et BID sont semblables.

$3.$ On sait que CI = 3,2 cm ; BI = 4,4 cm ; IA = 2,8 cm.
Calculer ID au centième près.

Solution

$1.$ Les angles $\widehat{BID}$ et $\widehat{AIC}$ sont opposés par le sommet, donc ont même mesure 45°.

$2.$ Dans le triangle AIC, les angles valent 74°, 45° et $180°-(74°+45°)=61°$.
Dans le triangle BID, les angles valent 45° pour $\hat I$, 61° pour $\hat B$
et pour $\hat D$ : $180°-(61°+45°)=74°$.
Les deux triangles CIA et BID ont donc leurs angles égaux deux à deux.
Les deux triangles CIA et BID sont semblables.

$3.$ Les deux triangles CIA et BID étant semblables, les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles.

$\dfrac{CI}{BI}=\dfrac{IA}{ID}$ ce qui donne $ID\times CI=BI\times IA$ ou encore

$ID=\dfrac{BI\times IA}{CI}$

On trouve $ID=\dfrac{4,4\times 2,8}{3,2}=3,85$ cm.