Suite majorée, minorée, bornée

I. Définitions

$\circ\quad$ Une suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$ lorsque, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq M$.
On dit que $M$ est un majorant de $(u_n)$.

$\circ\quad$ Une suite $(u_n)$ est minorée par un réel $m$ lorsque, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq m$.
On dit que $m$ est un minorant de $(u_n)$.

Une suite $(u_n)$ est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

Attention : une suite majorée (respectivement minorée) admet une infinité de majorants (resp. minorants).

En effet si pour tout $n$ de $\mathbb N$, $u_n \le 4$ alors $u_n\le 6,7$ ou $u_n\le 10^4$ ...

II. Pour aller plus loin : le théorème de convergence monotone

$\circ\quad$ Toute suite croissante et majorée converge.

$\circ\quad$ Toute suite décroissante et minorée converge.

Remarque : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.

Théorème :

$\circ\quad$ Toute suite croissante et non majorée diverge.

$\circ\quad$ Toute suite décroissante et non minorée diverge.

III. Exemple

Soit la suite définie sur $\mathbb N^*$ par $u_n=2-\dfrac 1n$.

Etudier les variations de $(u_n)$. Peut-elle être convergente ?

Solution :

$\forall n\in \mathbb N^*$ , $u_{n+1}-u_n=\left(2-\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(2-\dfrac{1}{n}\right)$

$\forall n\in \mathbb N^*$ , $u_{n+1}-u_n=\dfrac 1 n-\dfrac{1}{n+1}$

$\forall n\in \mathbb N^*$ , $u_{n+1}-u_n=\dfrac{n}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n+1}\gt 0$ puisque $n$ est un entier naturel non nul.

La suite $(u_n)$ est donc croissante.

Or, $\forall n\in \mathbb N^*$, $u_n\lt 2$.

D'après le théorème de convergence monotone, on peut affirmer que la suite $(u_n)$ est convergente.