Tu as vu la règle des signes au collège. Nous allons l'utiliser cette année pour déterminer le signe d'un produit ou d'un quotient en fonction des valeurs de x.
Signe de (x−1)(3−x)
On va étudier séparément le signe de chacun des facteurs.
x−1=0 si x=1 et x−1>0 si, et seulement si, x>1
On obtient ainsi le tableau suivant :
xsigne de x−1−∞−10++∞
3−x=0 si x=3 et 3−x>0 si, et seulement si, 3>x
xsigne de 3−x−∞+30−+∞
On regroupe ces deux informations dans un même tableau et on applique la règle des signes pour obtenir le signe de leur produit.
xsigne de (x−1)signe de (3−x)signe de (x−1)(3−x)−∞−+−100+++300+−−+∞
On est alors en mesure de résoudre, par exemple, l'inéquation (x−1)(3−x)≥0 en lisant les informations données par la dernière ligne du tableau.
La solution de cette inéquation est [1;3].
Ce qui est valable avec deux facteurs est évidemment valable pour 3, 4,... facteurs. Il suffit d'ajouter des lignes et des colonnes à ce tableau.
Voyons ce qui se passe dans le cas d'un quotient. La règle des signes s'applique de la même manière mais il va falloir être prudent quant à l'annulation du dénominateur.
Signe de 3−xx−1.
Puisqu'il s'agit d'une fraction, il est interdit que son dénominateur s'annule. Mais on a vu que 3−x s'annulait pour x=3. On va donc être obligé d'interdire cette valeur dans le tableau de signes. Cela va être symbolisé par une double barre verticale en lieu et place du zéro, qu'on avait dans le tableau de signes du produit, sur la ligne du quotient.
xsigne de (x−1)signe de (3−x)signe de 3−xx−1−∞−+−100+++30∣+−−+∞
La solution de l'inéquation 3−xx−1≤0 est donc ]−∞;1]∪]3;+∞[.
Il faut bien faire attention aux bornes des intervalles.
Remarque : On peut être amené à résoudre des équations du type 3−xx−1<2.
Cette inéquation revient à résoudre 3−xx−1−2<0. On met alors au même dénominateur et on se retrouve à étudier de nouveau le signe d'un quotient.
