Sens de variation d’une fonction

La notion de dérivée est essentielle en analyse. Elle permet d’étudier les variations d’une fonction sur un intervalle, uniquement en étudiant le signe de la dérivée de cette fonction.

I) Étude des variations d’une fonction

1)  Définitions

Étudier le sens de variation d’une fonction consiste à déterminer si la ­fonction est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle donné I.

Une fonction est dite monotone sur un intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur cet intervalle

2)  Sens de variation et signe de la dérivée

Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est positive ou nulle.

• f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est négative ou nulle.

• f est constante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) = 0.

À noter

Le signe de la dérivée permet de déterminer le sens de variation de f, mais les variations de f ne donnent pas forcément le signe de f.

Si dans ce théorème les inégalités sont strictes, alors f est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.

Remarque : Sur un intervalle I, la dérivée f ′ d’une fonction f peut changer plusieurs fois de signe. Dans ce cas, on est amené à partager l’intervalle I en plusieurs intervalles tels que f ′ ait un signe constant sur chacun d’eux.

II) Sens de variation et comparaison

Dire qu’une fonction f est croissante sur un ­intervalle I signifie qu’elle conserve l’ordre, c’est-à-dire que quels que soient les nombres a et b de I :

si a ⩽ b, alors f(a) ⩽ f(b)

Dire qu’une fonction f est décroissante sur un ­intervalle I signifie qu’elle inverse l’ordre, c’est-à-dire que quels que soient les nombres a et b de I :

si a ⩽ b, alors f(a) ⩾ f(b)

Méthode

Étudier un sens de variation

Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = x³ + 2x² – 7x – 1.

Repère
Conseils

Étape 1. On détermine la fonction f ′ dérivée de f sur ℝ .

Étape 2. On étudie le signe de f ′(x) sur ℝ.

Étape 3. On résume les résultats obtenus dans un tableau de variations.

Solution

Étape 1. f est définie sur ℝ, f est une fonction polynôme de degré 3, f est donc dérivable sur ℝ, et pour tout x ∈ ℝ :

f′(x) = 3x²+ 4x – 7.

Étape 2. Étudions le signe de f ′(x).

f ′(x) est un polynôme du second degré, on détermine donc ses racines pour étudier son signe.

Calculons le discriminant : Δ = 4² – 4 × 3 × (–7) = 16 + 84 = 100.

f ′(x) a donc deux racines : $x_1=\frac{–4–10}{2\times 3}=\frac{–7}{3}$ et $x_2=\frac{–4+10}{2\times 3}=1$.

À noter

On sait qu’un polynôme du second degré est du signe du coefficient de x² à l’extérieur de ses racines.

On en déduit que f ′(x) est positive sur $\left]–\infty ;\frac{–7}{3}\right]\cup [1;+\infty [$ et négative sur $\left]\frac{–7}{3};1\right[$.

f est donc croissante sur $\left]–\infty ;\frac{–7}{3}\right]$ et sur [1 ; +∞[et décroissante sur $\left]\frac{–7}{3};1\right[$.

Étape 3. Résumons ces résultats dans un tableau de variations.