En 1713 paraît Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli, un ouvrage très important dans l’histoire des probabilités. On y trouve son schéma présenté dans le cadre d’un tirage sans remise pour un modèle d’urne.
I) Schéma de Bernoulli
Définition : Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues : vrai/faux, pile/face, blanc/noir, etc.
On convient d’appeler « succès » et « échec » les deux issues, que l’on symbolise respectivement par 1 et 0.
Définition : Une variable aléatoire de Bernoulli est une variable aléatoire X caractérisée par :
X(Ω) = {0 ; 1} (X ne prend que deux valeurs) ;
P(X = 1) = p et donc P(X = 0) = 1 - p = q (p étant un nombre de [0 ; 1]).
Définition : Un schéma de Bernoulli est la répétition de la même épreuve de Bernoulli un certain nombre de fois (noté n), chaque fois étant indépendante des autres.
Arbre de probabilités :
À noter
On peut schématiser la succession d’épreuves par un arbre de probabilités, d’où le terme de « schéma ».
II) Loi uniforme de paramètre n
Définition : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme de paramètre n lorsque :
X (Ω) = {1, …, n} ;
pour tout k ∈ {1, …, n}, .
Propriétés : On a alors :
espérance de X, ;
variance de X, .
À noter
Tous les événements {X = k} sont équiprobables.
Méthodes
1) Reconnaître un schéma de Bernoulli
Dans les situations suivantes, dire s’il est possible d’utiliser un schéma de Bernoulli pour les modéliser.
a. Le nombre de lancers d’un dé cubique nécessaires pour obtenir un 6 pour la première fois.
b. Le nombre de filles dans une famille de quatre enfants.
c. Le nombre de boules blanches obtenues lors du tirage de trois boules dans une urne comportant quatre boules blanches et six boules noires.
Conseils
a. et b. Vérifiez si chaque situation répond aux conditions caractéristiques d’un schéma de Bernoulli rappelées dans la définition.
c. Discutez selon la nature des tirages : avec ou sans remise.
a. Il n’est pas possible d’utiliser un schéma de Bernoulli car le nombre de répétitions de l’épreuve (lancer d’un dé) n’est pas fixé.
b. Si on suppose que dans une fratrie les sexes des enfants sont indépendants les uns des autres, on peut utiliser un schéma de Bernoulli pour connaître le nombre de filles. L’épreuve de Bernoulli de base est l’identification du sexe de l’enfant : F ou G. On la répète 4 fois.
c. Si on effectue les tirages avec remise, on peut modéliser la situation par un schéma de Bernoulli, l’épreuve de base étant l’identification de la couleur : B ou N.
Si on effectue les tirages sans remise, on ne peut pas utiliser un schéma de Bernoulli. En effet dans ce cas les tirages ne sont pas indépendants, l’issue d’un tirage dépend de la composition de l’urne, variable d’un tirage à l’autre.
2) Utiliser une loi uniforme
On jette un dé cubique ordinaire une fois. Soit X la variable aléatoire égale au nombre porté par le dé.
a. Déterminer la loi de X.
b. En déduire son espérance et sa variance.
Conseils
a. Utiliser les formules du cours.
b. On a évidemment X (Ω) = {1, …, 6} et, puisque le dé est équilibré, pour tout k ∈ X (Ω), . Donc X suit la loi uniforme de paramètre 6.
c. On sait alors que et .