Introduction
Les ordinateurs représentent toutes les informations à l’aide de 0 et de 1. Ce codage repose sur la logique binaire, adaptée au fonctionnement des composants électroniques qui peuvent enregistrer deux états distincts. Pour comprendre comment une machine interprète et stocke les données, il est essentiel de savoir représenter les entiers dans différentes bases, notamment en base 2 (binaire), en base 10 (décimale) et en base 16 (hexadécimale). Ces conversions sont omniprésentes dans les activités informatiques : calculs numériques, stockage de fichiers, paramétrage des couleurs ou encore configuration des réseaux.
Écrire un entier dans une base
Un nombre entier peut être représenté dans n’importe quelle base b (où b ≥ 2), en le décomposant comme une somme de puissances de b. Ce procédé est commun aux bases 2, 10 et 16.
Un entier n s’écrit alors sous la forme : n = aₖ × bᵏ + aₖ₋₁ × bᵏ⁻¹ + … + a₁ × b¹ + a₀ × b⁰, avec 0 ≤ aᵢ < b.
La notation des bases suit une convention explicite, indiquée en indice après le nombre :
101101₂ signifie « le nombre binaire 101101 ».
FF₁₆ signifie « le nombre hexadécimal FF ».
45₁₀ signifie « le nombre décimal 45 ».
Conversion de la base 10 vers une autre base
La conversion d’un entier décimal vers une autre base repose sur la méthode des divisions successives. Il s’agit de diviser le nombre par la base, de conserver le reste, puis de recommencer avec le quotient, jusqu’à obtenir un quotient nul. Les chiffres du résultat s’obtiennent en lisant les restes du dernier au premier.
Exemple : convertir 45₁₀ en base 2
45 ÷ 2 = 22, reste 1.
22 ÷ 2 = 11, reste 0.
11 ÷ 2 = 5, reste 1.
5 ÷ 2 = 2, reste 1.
2 ÷ 2 = 1, reste 0.
1 ÷ 2 = 0, reste 1.
⇒ 45₁₀ = 101101₂
Exemple : convertir 255₁₀ en base 16
255 ÷ 16 = 15, reste 15 → F.
15 ÷ 16 = 0, reste 15 → F.
⇒ 255₁₀ = FF₁₆
À retenir
Pour passer d’un entier en base 10 à une autre base, on utilise la méthode des divisions successives. Le résultat s’obtient en lisant les restes à rebours.
Passer d’une base à une autre
La conversion d’un nombre dans une base donnée vers la base 10 repose sur le développement de la somme pondérée des chiffres.
Exemples :
101101₂ = 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 45₁₀.
2F₁₆ = 2×16 + 15 = 47₁₀.
La conversion entre base 2 et base 16 est directe, car un chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de 4 bits.
Exemples :
11001100₂ → 1100 1100 → C C → CC₁₆.
3A₁₆ → 0011 1010₂ → 3A₁₆ = 00111010₂.
À retenir
Un chiffre hexadécimal correspond à 4 bits. La conversion entre base 2 et base 16 se fait en regroupant ou en décomposant les bits par paquets de 4. Le passage par la base 10 n’est pas toujours nécessaire.
Tailles courantes et nombre de bits nécessaires
En informatique, la taille d’un entier en mémoire est déterminée par le nombre de bits utilisés. Plus un nombre est grand, plus il faut de bits pour le représenter.
Un entier positif inférieur à 2ⁿ peut être représenté sur n bits. On cherche donc le plus petit n tel que 2ⁿ > entier.
Exemples :
15 nécessite 4 bits car 2⁴ = 16.
64 nécessite 7 bits car 2⁷ = 128 (et 2⁶ = 64 n’est pas strictement supérieur).
127 nécessite 7 bits.
128 nécessite 8 bits.
Les tailles standard les plus fréquentes sont :
8 bits → valeurs de 0 à 255.
16 bits → valeurs de 0 à 65 535.
32 bits → valeurs de 0 à environ 4,3 milliards.
64 bits → valeurs de 0 à environ 18 milliards de milliards.
Ces tailles sont utilisées pour définir la capacité de stockage ou les registres des processeurs.
Exercice guidé : Quel est le plus petit nombre de bits nécessaire pour coder l’entier 300 ?
→ 2⁸ = 256 < 300
→ 2⁹ = 512 > 300
→ Il faut 9 bits.
À retenir
Le nombre de bits détermine la plage de valeurs qu’on peut représenter. Les tailles classiques sont 8, 16, 32 ou 64 bits, correspondant à des puissances de 2.
Usages des bases en contexte informatique
Les différentes bases sont omniprésentes dans la pratique informatique, chacune répondant à un besoin précis :
Base binaire : utilisée au plus bas niveau pour l’exécution des programmes, le codage machine, le fonctionnement des circuits électroniques.
Base hexadécimale : permet de lire ou écrire des données binaires de manière plus lisible, utilisée pour :
les codes de couleurs (comme #FF5733 en CSS),
les adresses mémoire,
les masques de configuration réseau,
les fichiers binaires.
Base décimale : utilisée pour les interactions avec l’utilisateur, les interfaces graphiques, les entrées/sorties.
Exemple :
Dans une feuille de style CSS, la couleur #FF0000 signifie :
Rouge = FF₁₆ = 255₁₀.
Vert = 00₁₆ = 0₁₀.
Bleu = 00₁₆ = 0₁₀.
Cela correspond à un rouge pur dans le modèle RVB (rouge, vert, bleu).
Dans un fichier image, chaque pixel peut être codé sur 24 bits : 8 bits pour chaque composante RVB. Cela signifie 256 valeurs possibles par couleur.
À retenir
La base 2 est utilisée pour le traitement machine, la base 10 pour l’affichage humain, la base 16 pour une lecture intermédiaire lisible. Ces bases sont exploitées dans la gestion des couleurs, des fichiers, des masques et des adresses.
À retenir
On peut représenter un entier dans n’importe quelle base comme une somme de puissances de cette base.
La méthode des divisions successives permet de passer de la base 10 à une base quelconque.
La conversion de la base 2 à 16 (et inversement) est directe : 1 chiffre hexadécimal correspond à 4 bits.
Il faut n bits pour représenter un entier si 2ⁿ est strictement supérieur à sa valeur.
Les tailles standard sont 8, 16, 32 et 64 bits.
Les différentes bases sont utilisées selon les contextes : calcul, stockage, affichage, transmission.
Conclusion
Savoir manipuler les entiers dans différentes bases est un prérequis fondamental pour toute activité en informatique. Cette compétence permet de comprendre la façon dont les données sont codées, stockées, transmises et affichées. La familiarité avec les bases 2, 10 et 16, ainsi qu’avec les tailles standard en bits, constitue une base solide pour aborder des notions plus complexes comme les types de données, la mémoire ou les algorithmes de traitement.