Racines n-ièmes de l'unité

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I. L'ensemble des nombres complexes de module 1 noté $\mathbb{U}$

Notons $\mathbb{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$.

$\circ\quad$ Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes appartenant à $\mathbb{U}$, alors $z \times z' \in \mathbb{U}$ et $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}$.

On dit que $\mathbb{U}$ est stable pour la multiplication.

Démonstration :

$|z \times z'| = |z| \times |z'| = 1 \times 1 = 1$, donc $z \times z' \in \mathbb{U}$.

Si $z \in \mathbb{U}$, alors $|z| = 1$, donc $z \neq 0$.

De plus, $\left| \dfrac{1}{z} \right| = \dfrac{1}{|z|} = \dfrac{1}{1} = 1$, donc $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}$.

II. Racine $n$-ième de l’unité

Définition :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On appelle racine $n$-ième de l’unité un nombre complexe $z$ tel que :

$z^n = 1$.

On note $\mathbb{U}_n$ l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité :

$\mathbb{U}_n = \{ \text{e}^{\frac{2\mathcal{i}k\pi}{n}} \mid k \in {0, 1, \dots, n - 1} \}$

Démonstration :

Si $z^n = 1$, alors $|z|^n = 1$.

Comme $|z| \in \mathbb{R}^+$, cela implique $|z| = 1$.

On pose donc : $z = \text{e}^{\mathcal{i} \theta}$.

On a alors :

$z^n = 1 \Leftrightarrow \text{e}^{\mathcal{i} n \theta} = \text{e}^0$

$\Leftrightarrow n \theta = 0 [2\pi] \Leftrightarrow n \theta = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \theta = \dfrac{2k\pi}{n}, k \in \mathbb{Z}$.

Or, l’équation $z^n = 1$ est une équation polynomiale de degré $n$, donc elle admet au plus $n$ solutions.

Ainsi, $\mathbb{U}_n = \{ \text{e}^{\frac{2\mathcal{i}k\pi}{n}} \mid k \in {0, 1, \dots, n - 1} \}$

Exemples :

$\mathbb{U}_3 = \left\{ 1, \text{e}^{\frac{2\mathcal{i}\pi}{3}}, \text{e}^{\frac{4\mathcal{i}\pi}{3}} \right\}$.

$\mathbb{U}_4 = \left\{ 1, \text{e}^{\frac{2\mathcal{i}\pi}{4}}, \text{e}^{\frac{4\mathcal{i}\pi}{4}}, \text{e}^{\frac{6\mathcal{i}\pi}{4}} \right\} = \left\{ 1, \mathcal{i}, -1, \mathcal i\right\}$

Remarque :

Les racines $n$-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique.