Comme pour les réels, on peut définir les puissances et les inverses de matrices carrées. De même, les suites de matrices colonnes s’apparentent aux suites de nombres réels.
I) Puissance entière d’une matrice carrée
Définition : Soient , , , une matrice carrée d’ordre . On note le produit de matrices égales à , on pose et .
Propriétés
Soit et deux matrices carrées, et deux entiers naturels non nuls.
et
Si est une matrice diagonale de coefficients diagonaux alors est la matrice diagonale de coefficients diagonaux .
À noter
En général et .
II) Matrices carrées inversibles
Définition : Soit , une matrice carrée d’ordre est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée d’ordre telle que .
La matrice est unique : c’est la matrice inverse de , on la note .
On admet qu’il suffit que ou que pour que soit inversible et que .
Propriétés : Soit et soient et deux matrices carrées inversibles d’ordre .
est inversible et .
La matrice est inversible et .
III) Matrices colonnes définies par récurrence
Soit , soit une matrice carrée d’ordre et soit une matrice colonne de taille . On peut alors définir la suite de matrices colonnes de taille par son premier terme une matrice colonne de taille et la relation de récurrence : pour tout entier naturel , .
Propriété : Si est nulle, alors on a pour tout entier naturel : .
Remarque : Pour une suite de matrice ligne de taille définie pour tout entier naturel par , on a pour tout entier naturel : .
À noter
Cette propriété se démontre par récurrence.
Méthodes
1) Calculer une puissance d’une matrice carrée
Montrer par récurrence que pour tout , .
Conseils
Pour démontrer l’hérédité, on peut écrire puis utiliser l’hypothèse de récurrence.
Solution
Initialisation : Pour , , la proposition est donc vraie au rang 1.
Hérédité : Supposons que pour un entier , .
Conclusion : Pour tout , .
2) Calculer l’inverse d’une matrice carrée
Conseils
On cherche une matrice carrée telle que .