Propriétés analytiques et applications

L’étude de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle est essentielle, notamment lors de la modélisation de phénomènes où des grandeurs varient proportionnellement à leurs valeurs.

I) Propriétés

Pour tout réel x, on a ex > 0.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Pour tout réel x, ex > 1 si et seulement si x > 0.

Pour tout réel a et tout réel b :

À noter

En particulier ex = 1 ⇔ x = 0.

ea = eb si et seulement si a = b ea < eb si et seulement si a < b

II) Tableau de variations et courbe représentative

Tableau de variation de la fonction exponentielle :

Dans le plan muni d’un repère, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en son point d’abscisse 0 une tangente d’équation y = x + 1.

III) Fonctions associées

À noter

Le calcul de cette dérivée fait appel à la dérivée des fonctions du type x ↦ g(ax + b)  .

Soit k un réel strictement positif.

La fonction u : x ↦ ekx admet pour fonction dérivée x ↦ kekx. La fonction u est strictement croissante sur ℝ.

La fonction v : x ↦ e^–kx admet pour fonction ­dérivée x ↦ –ke^–kx. La fonction v est strictement ­décroissante sur ℝ.

Méthode

1)  Résoudre des équations et des inéquations

Déterminer les solutions de l’équation e²x = ex et de l’inéquation xex > x.

Conseil

Pour résoudre ce type d’équation, on montre qu’elle est équivalente à une équation de la forme A × B = 0. De même, pour une inéquation, on montre qu’elle est équivalente à une inéquation de la forme A × B > 0.

Solution

On a pour tout réel x :

e²x = ex ⇔ e²x – ex = 0

⇔ ex(ex – 1) = 0

⇔ ex = 0 ou ex = 1

⇔ x = 0.

Cette équation admet 0 pour unique solution.

Remarque : Pour tout x ∈ ℝ, ex > 0 donc l’équation ex = 0 n’admet pas de ­solution réelle.

On a pour tout réel x :

xex > x ⇔ xex – x > 0

⇔ x(ex – 1) > 0.

On peut faire un tableau de signe ou remarquer que, pour tout x ∈ ℝ, ex > 1 ⇔ x > 0.

Les facteurs x et ex – 1 sont de même signe, le produit est donc strictement positif sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ et nul pour x = 0. Cette inéquation admet pour solutions tous les réels non nuls.

2)  Étudier les variations d’une fonction

On considère la fonction définie sur ℝ par f(x) = xe^–x.

a. Déterminer la fonction dérivée de f.

b. En déduire les variations de la fonction f sur ℝ.

Conseil

Pour dériver f, on utilise la formule de la dérivée d’un produit de fonctions.

Pour les variations, on étudie le signe de f ′(x) après l’avoir factorisé.

a. Pour tout réel x, f ′(x) = 1 × e^–x + x × (–e^–x) donc f ′(x) = (1 – x)e–x.

b. Pour tout réel x, e^–x > 0 donc f ′(x) est du signe de 1 – x. La fonction f est donc strictement croissante sur ]–∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[.

Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 15 et 16.