Propriétés analytiques et applications

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L’étude de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle est essentielle, notamment lors de la modélisation de phénomènes où des grandeurs varient proportionnellement à leurs valeurs.

I) Propriétés

Pour tout réel x, on a ex > 0.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Pour tout réel x, ex > 1 si et seulement si x > 0.

Pour tout réel a et tout réel b :

À noter

En particulier ex = 1 x = 0.

ea = eb si et seulement si ab ea < eb si et seulement si a < b

II) Tableau de variations et courbe représentative

Tableau de variation de la fonction exponentielle :

PB_Bac_05285_Math1_TT_p121-146_C05_Groupe_Schema_0

Dans le plan muni d’un repère, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en son point d’abscisse 0 une tangente d’équation yx + 1.

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III) Fonctions associées

À noter

Le calcul de cette dérivée fait appel à la dérivée des fonctions du type x ↦ g(ax + b)  .

Soit k un réel strictement positif.

La fonction u : x ↦ ekx admet pour fonction dérivée xkekx. La fonction u est strictement croissante sur ℝ.

La fonction v : x ↦ ekx admet pour fonction ­dérivée x ↦ –kekx. La fonction v est strictement ­décroissante sur ℝ.

Méthode

1)  Résoudre des équations et des inéquations

Déterminer les solutions de l’équation e2x = ex et de l’inéquation xex > x.

Conseil

Pour résoudre ce type d’équation, on montre qu’elle est équivalente à une équation de la forme A × B = 0. De même, pour une inéquation, on montre qu’elle est équivalente à une inéquation de la forme A × B > 0.

Solution

On a pour tout réel x :

e2x = ex e2x – ex = 0

ex(ex – 1) = 0

ex = 0 ou ex = 1

x = 0.

Cette équation admet 0 pour unique solution.

Remarque : Pour tout x  ℝ, ex > 0 donc l’équation ex = 0 n’admet pas de ­solution réelle.

On a pour tout réel x :

xex > x xex – x > 0

x(ex – 1) > 0.

On peut faire un tableau de signe ou remarquer que, pour tout x  ℝ, ex > 1  x > 0.

Les facteurs x et ex – 1 sont de même signe, le produit est donc strictement positif sur ]–∞ ; 0[ ]0 ; +∞[ et nul pour x = 0. Cette inéquation admet pour solutions tous les réels non nuls.

2)  Étudier les variations d’une fonction

On considère la fonction définie sur ℝ par f(x) = xex.

a. Déterminer la fonction dérivée de f.

b. En déduire les variations de la fonction f sur ℝ.

Conseil

Pour dériver f, on utilise la formule de la dérivée d’un produit de fonctions.

Pour les variations, on étudie le signe de f (x) après l’avoir factorisé.

a. Pour tout réel x, f (x) = 1 × ex + x × (–ex) donc f(x) = (1 – x)ex.

b. Pour tout réel x, ex > 0 donc f ′(x) est du signe de 1 – x. La fonction f est donc strictement croissante sur ]–∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[.

Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 15 et 16.