L’étude de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle est essentielle, notamment lors de la modélisation de phénomènes où des grandeurs varient proportionnellement à leurs valeurs.
I) Propriétés
Pour tout réel x, on a .
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Pour tout réel x, si et seulement si x > 0.
À noter
En particulier .
Pour tout réel a et tout réel b :
si et seulement si a = b
si et seulement si a < b
II) Tableau de variations et courbe représentative
Tableau de variation de la fonction exponentielle :
Dans le plan muni d’un repère, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en son point d’abscisse 0 une tangente d’équation y = x + 1.
III) Fonctions associées
À noter
Le calcul de cette dérivée fait appel à la dérivée des fonctions du type x ↦ g(ax + b) .
Soit k un réel strictement positif.
La fonction admet pour fonction dérivée . La fonction u est strictement croissante sur ℝ.
La fonction admet pour fonction dérivée . La fonction v est strictement décroissante sur ℝ.
Méthode
1) Résoudre des équations et des inéquations
Déterminer les solutions dans R de l’équation
Déterminer les solutions dans R de l'inéquation .
Conseil
Pour résoudre ce type d’équation, on montre qu’elle est équivalente à une équation de la forme A × B = 0. De même, pour une inéquation, on montre qu’elle est équivalente à une inéquation de la forme A × B > 0.
Solution
Résolvons l'équation proposée.
.
Cette équation admet 0 pour unique solution.
Remarque : Pour tout x ∈ ℝ, donc l’équation n’admet pas de solution réelle.
Résolvons l'inéquation proposée : .
On peut faire un tableau de signe ou remarquer que, pour tout x ∈ ℝ, .
Les facteurs et sont de même signe, le produit est donc strictement positif sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ et nul pour x = 0. Cette inéquation admet pour solutions tous les réels non nuls.
2) Étudier les variations d’une fonction
On considère la fonction définie sur ℝ par .
a. Déterminer la fonction dérivée de f.
b. En déduire les variations de la fonction f sur ℝ.
Conseil
Pour dériver f, on utilise la formule de la dérivée d’un produit de fonctions.
Pour les variations, on étudie le signe de f ′(x) après l’avoir factorisé.
a. Pour tout réel x, donc .
b. Pour tout réel x, donc f ′(x) est du signe de 1 – x. La fonction f est donc strictement croissante sur ]–∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[.
Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 15 et 16.