Produit scalaire de deux vecteurs

L’outil « produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux ­problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d’angle ou la longueur d’un segment.

I. Définition

Soit  $\overrightarrow u$ et  $\overrightarrow v$ deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est un nombre réel noté \overrightarrow u \cdot  \overrightarrow v (on lit « u scalaire ν »).

Si l’un des vecteurs  $\overrightarrow u$ ou  $\overrightarrow v$ est le vecteur nul, alors \overrightarrow u \cdot  \overrightarrow v = 0.

Si aucun des vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que $\overrightarrow u = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow v = \overrightarrow{AC}$. On a alors :  A ≠ B et A ≠ C.

On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors :

\overrightarrow u \cdot  \overrightarrow v = AB\times AH si $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AH}$ sont de même sens

{\phantom{\overrightarrow u \cdot  \overrightarrow v }=-AB\times AH} si  $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AH}$ sont de sens opposés.

Cas particulier : si $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ sont colinéaires et $\overrightarrow u \neq \overrightarrow 0$ et $\overrightarrow v \neq \overrightarrow 0$, alors :

\overrightarrow u \cdot  \overrightarrow v = ||\overrightarrow u||\times ||\overrightarrow v|| si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont de même sens

{\phantom{\overrightarrow u \cdot  \overrightarrow v }= -||\overrightarrow u||\times ||\overrightarrow v||} si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont de sens contraire.

Mot clé

\overrightarrow u \cdot  \overrightarrow u  est le carré scalaire de $\overrightarrow u$ ; \overrightarrow u \cdot  \overrightarrow u=||\overrightarrow u||^2.

II. Propriétés

Symétrie : pour tous vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$, \overrightarrow u \cdot  \overrightarrow v = \overrightarrow v \cdot  \overrightarrow u

Bilinéarité : pour tous vecteurs $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ et $\overrightarrow w$ et tout réel k :

$\overrightarrow u\cdot (\overrightarrow v +\overrightarrow w)=\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v + \overrightarrow u\cdot \overrightarrow w$

$\overrightarrow u\cdot (k\;\overrightarrow v)=k\;(\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v)$

III. Expression dans une base orthonormée

Si les vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base orthonormée du plan, alors :

$\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v =xx'+yy'$

Norme d’un vecteur : pour tout vecteur $\overrightarrow u$ de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée :

$||\overrightarrow u||^2=x^2+y^2$

Méthode

Calculer des produits scalaires

Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

a. $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}$ b. $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DH}$ c. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ d. $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AE}$ e. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EC}$

Conseil

a. Considérez les directions des deux vecteurs.

b. Décomposez le vecteur $\overrightarrow{DH}$ en utilisant la relation de Chasles.

c. Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

d. Remarquez que $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$, puis considérez le projeté orthogonal de E sur la droite (AB).

e. Utilisez les résultats des deux questions précédentes.

Solution

a. Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux, donc $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}=0$.

b. $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}$, donc \overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DC}\cdot ( \overrightarrow{ DA}+\overrightarrow{AH})

$=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{AH}$

Les vecteurs $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont perpendiculaires), donc $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DA}=0$.

$\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{AH}=DC\times AH$ car les vecteurs $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires de même sens.

Or DC = AB = 4 et AH=2, donc \overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{AH}=4×2=8.

D’où $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DH}=0+8$, soit $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DH}=8$

c. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AB$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=16$. 

d. On a $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AE}$. Le triangle ABE est équilatéral, donc (EH) est la médiatrice du segment [AB]. Le projeté orthogonal de E sur la droite (AB) est donc H. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires de même sens, donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AE}=AB\times AH$, donc $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AE}=-AB\times AH$, soit $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AE}=-8$.

e. Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EA}=(-\overrightarrow{BA})\cdot (-\overrightarrow{AE})=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AE}$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EA}=-8$. De plus $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=16$.

Donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EC}=-8+16$, soit $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EC}=8$.