Primitives des fonctions composées

I. Propriété

Soient $v$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $J$, et $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, telle que, pour tout $x \in I$, $u(x) \in J$. Alors $v \circ u$ est une primitive sur $I$ de $u' \times (v' \circ u)$.

$\circ\quad$ Si $f$ admet pour primitive $F$ sur $I$ et si $g$ admet pour primitive $G$ sur $I$, alors $f + g$ admet pour primitive $F + G$ sur $I$.

$\circ\quad$ Si $f$ admet pour primitive $F$ sur $I$ et $k \in \mathbb{R}$, alors $kf$ a pour primitive $kF$ sur $I$.

$\circ\quad$Si $v$ est dérivable et non nulle sur $I$, alors $\dfrac{v'}{v}$ a pour primitive $-\ln(v)$ sur $I$.

$\circ\quad$ Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$, alors $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ a pour primitive $2\sqrt{u}$ sur $I$.

$\circ\quad$ Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$. Alors $u^n \times u'$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ sur $I$ ($n \in \mathbb{N}, n \neq -1$).

$\circ\quad$ Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$, alors $u' \text e^u$ a pour primitive $\text e^u$ sur $I$.

$\circ\quad$ Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $I$, alors $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln(u)$ sur $I$.

II. Exemples

$1.$ On définit la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x}} - \dfrac{4}{x^2}$
On a alors : $F(x) = 6\sqrt{x} + \dfrac{4}{x}$

$2.$ On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$ par : $g(x) = \dfrac{2x}{(x^2 - 1)^2}$
On a alors : $G(x) = -\dfrac{1}{x^2 - 1}$

$3.$ On définit la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = 2x\text e^x + 5$
On a alors : $H(x) = x^2 \text e^x + 5x + C$

$4.$ On définit la fonction $p$ sur $]-2; +\infty[$ par : $p(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 5}}$
On a alors : $P(x) = \sqrt{2x + 5}$