Lorsque deux plans de l’espace ne sont pas parallèles, ils sont sécants, éventuellement perpendiculaires. Ces différentes positions relatives font l’objet de plusieurs propriétés.
I) Étude des positions relatives de deux plans de l’espace
Dans l’espace, deux plans sont soit parallèles, soit sécants.
II) Propriétés des plans de l’espace
1) Plans parallèles
Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre.
Si deux plans 1 et 2 sont perpendiculaires à une même droite , alors les deux plans 1 et 2 sont parallèles.
Soit 1 et 2 deux droites parallèles. Si un plan 1 est perpendiculaire à 1 et un plan 2 estperpendiculaire à 2, alors 1 et 2 sont parallèles.
2) Plans perpendiculaires
Si deux plans sont perpendiculaires :
tout plan parallèle à l’un est perpendiculaire à l’autre ;
tout plan perpendiculaire à l’un est parallèle à l’autre.
Soit 1 et 2 deux droites orthogonales. Si un plan 1 est perpendiculaire à 1 et un plan 2 est perpendiculaire à 2, alors les plans 1 et 2 sont perpendiculaires.
Méthode
Étudier la position relative de deux plans de l’espace
On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.
Déterminer la position relative des plans donnés. Lorsque deux plans sont sécants, préciser leur intersection.
a. Les plans et .
b. Les plans et .
c. Les plans et .
d. Les plans et .
e. Les plans et .
f. Les plans et .
g. Les plans et .
Conseils
Répondez en employant le terme le plus précis possible.
Pour chaque question, vous pouvez commencer par expliciter le plan qui est déterminé par trois points, en fonction, par exemple, des faces du cube.
Solution
a. Les plans et sont sécants et leur intersection est la droite . En effet, les points E et G appartiennent à chacun des deux plans donc la droite (EG) appartient à ces deux plans.
À noter
L’intersection deux plans sécants (et non parallèles) est une droite.
b. Les plans et sont confondus.
c. Les plans et sont strictement parallèles, car les faces opposées d’un cube sont parallèles.
d. Les plans et sont perpendiculaires.
e. Les plans et sont sécants et leur intersection est la droite . En effet, les points D et G appartiennent à chacun des deux plans donc la droite (DG) appartient à ces deux plans.
f. Les plans et sont sécants et leur intersection est la droite . En effet, les points C et G appartiennent à chacun des deux plans donc la droite (CG) appartient à ces deux plans.
g. Les plans et sont perpendiculaires.