Position relative de deux courbes

La position relative de deux courbes se résume à l’étude du signe de la différence des ordonnées de deux points de même ­abscisse de ­chacune des deux courbes. Cette étude permet, en ­économie, d’estimer un bénéfice.

I) Définition

Étudier la position relative de deux courbes 𝒞1 et 𝒞2 revient à savoir sur quel intervalle 𝒞1 est au-dessus (respectivement en dessous) de 𝒞2.

Exemple : Sur le graphique ci-dessous, on voit que sur [–2 ; 2] l’ordonnée de M2 est supérieure à celle de M1 on peut donc en déduire que 𝒞1 est en dessous de 𝒞2.

Les fonctions f1 et f2 sont définies par f1(x) = x – 2 et f2(x) = –x² + x + 2.

II) Propriétés

Soit 𝒞1 et 𝒞2 les courbes représentatives de deux fonctions f1 et f2. On considère deux points M1 et M2 de même abscisse x appartenant respectivement à 𝒞1 et 𝒞2, leurs ordonnées respectives sont donc f1(x) et f2(x).

•  𝒞1 est au-dessus de 𝒞2 si et seulement si f1(x) ⩾ f2(x) ou encore f1(x) – f2(x) ⩾ 0.

•  𝒞1 est en dessous de 𝒞2 si et seulement si f1(x) ⩽ f2(x) ou encore f1(x) – f2(x) ⩽ 0.

•  𝒞1 et 𝒞2 se croisent si et seulement si f1(x) = f2(x).

Exemple : On peut retrouver le résultat obtenu graphiquement précédemment en faisant l’étude du signe de la différence f1(x) – f2(x).

On a alors : $f_1\left(x\right)–f_2\left(x\right)=x–2–(–x^2+x+2)=x^2–4=(x–2)(x+2)$.

On obtient un polynôme du second degré dont les racines sont –2 et 2. On en déduit que cette différence est négative entre les racines, c’est-à-dire sur [–2 ; 2] et positive à l’extérieur des racines, c’est-à-dire sur ]–∞ ; –2[ et ]2 ; +∞[.

𝒞1 est donc en dessous de 𝒞2 sur [–2 ; 2] et au-dessus sur ]–∞ ; –2[ et ]2 ; +∞[.

Méthode

Étudier la position relative de deux courbes

Conseil

Étape 1. Pour comparer les ordonnées de deux points de même abscisse x, l’un appartenant à𝒞f et l’autre à𝒞g, on calcule f(x) – g(x).

Étape 2. On étudie le signe de cette différence.

Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par :

f(x) = –2x² – x + 5 et g(x) = –x + 1.

On appelle 𝒞f et 𝒞g leurs courbes représentatives.

Étudier la position relative de ces deux courbes sur ℝ.

Solution

Étape 1. Déterminons la différence :

f(x) – g(x) = (–2x² – x + 5) – (–x + 1)

= –2x² – x + 5 + x – 1

= –2x² + 4.

Étape 2. Étudions alors le signe de f(x) – g(x) = –2x² + 4.

Les racines de l’équation du second degré –2x² + 4 = 0 sont $x=\sqrt{2}$ et $x=–\sqrt{2}$.

Donc –2x² + 4 est positif sur $[–\sqrt{2};\sqrt{2}]$ et négatif sur $]–\infty ;–\sqrt{2}[\cup ]\sqrt{2};+\infty [$. Ainsi :

– si $x\in [–\sqrt{2};\sqrt{2}]$, f(x) ⩾ g(x) et la courbe représentant f est située ­au-­dessus de celle représentant g ;

– si $x\in ]–\infty ;–\sqrt{2}[\cup ]\sqrt{2};+\infty [$, f(x) ⩽ g(x) et la courbe représentant f est située en dessous de celle représentant g.

Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 17 à 19.