Notions de limite

Il peut être intéressant d’étudier le comportement à long terme d’une suite. Les termes peuvent tendre vers un nombre, devenir extrêmement grands ou avoir un comportement chaotique…

I) Limites finies et infinies

Une suite de terme général un admet pour limite +∞, si ses termes deviennent aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty .$

Exemple : les suites de termes généraux n, n² et $\sqrt{n}$ ont pour limite +∞.

Une suite de terme général un admet pour limite un réel ℓ, si ses termes ­deviennent aussi proches que l’on veut de ℓ à partir d’un certain rang. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell .$

Exemple : les suites de termes généraux $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ et $\frac{1}{\sqrt{n}}$ admettent pour limite 0.

II) Algorithme

Le rang à partir duquel les termes d’une suite réalisent une des conditions précédentes peut être recherché à l’aide d’un algorithme. On parle alors de seuil à partir duquel la condition est réalisée.

Algorithme de seuil pour une suite de limite +∞ :

À la fin de l’exécution de l’un ou l’autre de ces algorithmes, la variable N contient le premier rang à partir duquel un ⩾ A.

Algorithme de seuil pour une suite de limite ℓ :

À noter

Sur les calculatrices, on utilise les commandes While et While End ou While et End.

À la fin de l’exécution de l’un ou l’autre de ces algorithmes, la variable N contient le premier rang à partir duquel ℓ – E ⩽ un ⩽ ℓ + E.

Méthodes

1)  Conjecturer la limite d’une suite

On considère les suites de termes généraux $u_n=n+\frac{1}{n}$ et $v_n=3–\frac{1}{n}$.

Que peut-on dire du comportement de ces suites pour de grandes valeurs de n ?

Repère

Conseil

On peut, dans un premier temps, tenter de comparer ces suites à des suites dont la limite est connue. On peut utiliser ensuite un tableur pour conjecturer ce comportement.

Solution

On a pour tout entier n > 0, un > n donc un est aussi grand que l’on veut à partir d’un certain rang : cette suite semble admettre pour limite +∞.

$\frac{1}{n}$ est aussi proche que l’on veut de zéro pour n suffisamment grand, donc

$–\frac{1}{n}$ également : la suite (vn) semble admettre pour limite 3.

2)  Utiliser un algorithme de seuil

On considère la suite de terme général $u_n=1+\frac{1}{2^n}$.

On admet que la suite u est décroissante et admet pour limite 1. Donner un algorithme calculant le plus petit entier p tel que up < 1,01.

Donner, dans un tableau, des valeurs approchées des variables à chaque étape de l’algorithme (on arrondira au millième).

Conseil

Lorsque l’on recherche un seuil, une boucle « Tant que » est souvent appropriée. Il ne faut pas hésiter à faire fonctionner l’algorithme pas à pas.

Solution

La suite u est définie explicitement en fonction de n, on a alors :

Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 8 à 11.