Nombre dérivé et tangente

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La notion de dérivabilité d’une fonction peut se définir d’un point de vue géométrique. En effet, le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse a de la courbe représentant cette fonction est le nombre dérivé de la fonction en a.

I. Nombre dérivé d’une fonction en un point

1)  Taux de variation

À noter
C’est le coefficient directeur de la droite (AM) où A est le point de la courbe représentant f d’abscisse a et M le point d’abscisse a + h.

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ouvert II, soit aa un réel appartenant à II tel que a+ha+h soit aussi dans II, pour hh réel non nul.

On appelle taux de variation de ff entre aa et a+ha+h le réel t(h)t(h) défini par :
t(h)=f(a+h)–f(a)ht(h)=\dfrac{f(a+h)–f(a)}{h}.

2)  Nombre dérivé en un point

On dit que ff est dérivable en aa, si la limite lorsque hh tend vers 00 du taux de variation de ff entre aa et a+ha+h est un nombre réel.

Dans ce cas, la limite du taux de variation est appelée nombre dérivé de ff en aa. On note cette limite f ′(a)f '(a) et on a : f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

II. Tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction

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Soit ff une fonction définie et dérivable sur un intervalle II, aa un nombre réel appartenant à II. Soit 𝒞 la courbe représentant ff dans un repère du plan. Soit A(a ; f(a))A(a~;~f(a)) le point de 𝒞 d’abscisse aa. On appelle tangente à la courbe 𝒞 la droite passant par le point AA et de coefficient directeur f ′(a)f '(a).

L’équation de cette tangente est : y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).

Méthode

1)  Calculer un nombre dérivé

 

Conseil

On calcule le taux de variation de f entre 2 et 2 + h, puis sa limite lorsque h tend vers 0.

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2 + x. Déterminer, s’il existe, le nombre dérivé de f en 2.

Solution

On calcule le taux de variation t(h)t(h) :

t(h)=f(2+h)−f(2)ht(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}
t(h)=(2+h)2+(2+h)–(22+2)ht(h)=\dfrac{(2+h)^2+(2+h)–(2^2+2)}{h}

t(h)=4+4h+h2+2+h–6ht(h)=\dfrac{4+4h+h^2+2+h–6}{h}
t(h)=h2+5hh=h+5t(h)=\dfrac{h^2+5h}{h}=h+5


Puis on calcule la limite de ce taux de variation lorsque hh tend vers 00. On a : lim⁡h→0t(h)=lim⁡h→0(h+5)=5\lim\limits_{h\to 0}t(h)=\lim\limits_{h\to 0}(h+5)=5

On en déduit que le nombre dérivé de ff en 22 vaut 55, on a donc f′(2)=5f'(2)=5.

2)  Lire un nombre dérivé

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On a tracé la courbe représentative d’une fonction ff et ses tangentes aux points d’abscisses −1-1, 00 et 22. Déterminer graphiquement f ′(−1) , f ′(0)f '(-1)~,~f '(0) et f ′(2)f '(2).

Conseil

Pour lire graphiquement f ′(a) :

– on repère le point d’abscisse a sur la courbe ;

– on repère la tangente à la courbe en ce point ;

– on lit le coefficient directeur de cette droite (si la tangente est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est nul).

Solution

À noter

Le coefficient directeur d’une droite (AD)(AD) est aussi donné par le rapport yD−yAxD−xA\dfrac{y_D-y_A}{x_D-x_A}.

f ′(−1)f '(-1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point AA d’abscisse −1-1.
Cette tangente passe par le point AA de coordonnées (−1 ; 1)(-1~;~1) et par le point DD de coordonnées (0 ; 2,5)(0~;~2,5).
Le coefficient directeur est égal à la valeur du déplacement vertical correspondant à un déplacement horizontal de 11 vers la droite, soit 1,51,5. On a donc f′(−1)=1,5f'(-1)=1,5.

De même le coefficient directeur de la tangente en BB est f′(0)=−1 f'(0)=-1.

La tangente en CC est parallèle à l’axe des abscisses donc f′(2)=0f'(2)=0.
Leçon suivante
Fonction dérivée – Dérivées usuelles