Nombre dérivé et tangente

La notion de dérivabilité d’une fonction peut se définir d’un point de vue géométrique. En effet, le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse a de la courbe représentant cette fonction est le nombre dérivé de la fonction en a.

I) Nombre dérivé d’une fonction en un point

1)  Taux de variation

À noter

C’est le coefficient directeur de la droite (AM) où A est le point de la courbe représentant f d’abscisse a et M le point d’abscisse a + h.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, soit a un réel appartenant à I tel que a + h soit aussi dans I, pour h réel non nul.

On appelle taux de variation de f entre a et a + h le réel t(h) défini par :

$t\left(h\right)=\frac{f(a+h)–f\left(a\right)}{h}$

2)  Nombre dérivé en un point

On dit que f est dérivable en a, si la limite lorsque h tend vers 0 du taux de variation de f entre a et a + h est un nombre réel.

Dans ce cas, la limite du taux de variation est appelée nombre dérivé de f en a. On note cette limite f ′(a) et on a :

$f^{\prime }\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)–f\left(a\right)}{h}$

II) Tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, a un nombre réel appartenant à I. Soit 𝒞 la courbe représentant f dans un repère du plan. Soit A(a ; f(a)) le point de 𝒞 d’abscisse a. On appelle tangente à la courbe 𝒞 la droite passant par le point A et de coefficient directeur f ′(a).

L’équation de cette tangente est :

y = f ′(a)(x – a) + f(a)

Méthode

1)  Calculer un nombre dérivé

Conseil

On calcule le taux de variation de f entre 2 et 2 + h, puis sa limite lorsque h tend vers 0.

Soit f la fonction définie sur ℝ par

f(x) = x² + x. Déterminer, s’il existe,

le nombre dérivé de f en 2.

Solution

On calcule le taux de variation t(h) :

$t\left(h\right)=\frac{f(2+h)–f\left(2\right)}{h}=\frac{{(2+h)}^2+(2+h)–(2^2+2)}{h}$

$=\frac{4+4h+h^2+2+h–6}{h}=\frac{h^2+5h}{h}=h+5.$

Puis on calcule la limite de ce taux de variation lorsque h tend vers 0. On a $\underset{h\to 0}{\lim }t\left(h\right)=\underset{h\to 0}{\lim }(h+5)=5$.

On en déduit que le nombre dérivé de f en 2 vaut 5, on a donc f′(2) = 5.

2)  Lire un nombre dérivé

On a tracé la courbe représentative d’une fonction f et ses tangentes aux points d’abscisses –1, 0 et 2. Déterminer graphiquement f ′(–1), f ′(0) et f ′(2).

Conseil

Pour lire graphiquement f ′(a) :

– on repère le point d’abscisse a sur la courbe ;

– on repère la tangente à la courbe en ce point ;

– on lit le coefficient directeur de cette droite (si la tangente est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est nul).

Solution

À noter

Le coefficient directeur d’une droite (AD) est aussi donné par le rapport $\frac{y_{\text{D}}–y_{\text{A}}}{x_{\text{D}}–x_{\text{A}}}$.

f ′(–1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d’abscisse –1. Cette tangente passe par le point A de coordonnées (–1 ; 1) et par le point D de coordonnées (0 ; 2,5). Le coefficient directeur est égal à la valeur du déplacement vertical correspondant à un déplacement horizontal de 1 vers la droite, soit 1,5. On a donc f′(–1) = 1,5.

De même le coefficient directeur de la tangente en B est f′(0) = –1.

La tangente en C est parallèle à l’axe des abscisses donc f′(2) = 0.