Placée dans un champ électrique, une particule chargée subit une force électrique qui dépend de sa charge. Elle est accélérée ou déviée suivant sa vitesse initiale.

I) Champ électrique uniforme créé par un condensateur plan

Un champ électrique uniforme $\vec{E}$ a même direction, même sens et même valeur en tout point de l’espace. Il s’obtient entre deux armatures métalliques planes P et N séparées par un isolant sur une distance d entre lesquelles on applique une tension U_PN : ce dispositif est appelé condensateur plan.

Le champ électrique est orthogonal aux armatures et orienté de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement (sens des potentiels décroissants).

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La valeur du champ est :

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II) Accélération d’une particule chargée dans un champ électrique

Une particule de masse m et de charge q est lancée à la date t₀ = 0 avec une vitesse initiale $\vec{v_{0}}$ dans un champ électrique $\vec{E}$ uniforme. Comme elle se trouve aussi dans le champ de pesanteur $\vec{g}$ , elle subit deux forces : la force électrique $\vec{F} = q \vec{E}$ et son poids : $\vec{P} = m \vec{g}$ . Compte tenu des valeurs de masse et de charge, $\vec{P}$ est souvent négligeable devant $\vec{F}$ .

D’après la 2^e loi de Newton : $\sum^{} \vec{F_{ext}} = m \vec{a} = \vec{F} = q \vec{E}$ donc : $\vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E}$ . Donc $\vec{a}$ est colinéaire et de même sens que la force électrique $\vec{F}$ ; constant mais dépendant de la masse et de la charge de la particule (si q > 0, $\vec{a}$ et $\vec{E}$ de même sens).

Le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme est analogue à celui d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme mais le signe de la charge q oriente le mouvement.

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Méthode

Établir les équations du mouvement et de la trajectoire

Une particule, de masse m et de charge q > 0, est lancée à la date t₀ = 0 avec une vitesse initiale $\vec{v_{0}}$ dans un champ électrique uniforme : $\vec{E} = - E \vec{j}$ .

Le mouvement est étudié dans le repère (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ) dans le référentiel terrestre (galiléen). O coïncide avec sa position initiale, à t₀ = 0.

$\vec{v_{0}}$ est dans le plan vertical (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) et incliné d’un l’angle α par rapport à l’horizontale.

$v_{0 x} = v_{0} \cos α v_{0 y} = v_{0} \sin α v_{0 z} = 0$

$a \to = \frac{q}{m} \vec{E}$ .

a. Déterminer les équations horaires du mouvement de la particule.

b. En déduire que son mouvement est plan.

c. Établir l’équation de sa trajectoire et sa nature.

Conseils
a. Exprimez les coordonnées de $\vec{a}$ dans (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ) et déterminez leurs primitives.
b. Que peut-on dire de la coordonnée du vecteur position suivant z ?
c. La trajectoire est une relation entre x et y, obtenue en éliminant le temps.

Solution

a. L’accélération est $\vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E} = - \frac{q}{m} E \vec{j}$ . Les coordonnées de $\vec{v}$ sont les primitives des coordonnées de $\vec{a}$ et les coordonnées de $\vec{OG}$ sont les primitives des coordonnées de $\vec{v_{G}}$ (en respectant les conditions initiales) :

$\begin{matrix} \vec{a} (\begin{matrix} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - \frac{q E}{m} \\ a_{z} = 0 \end{matrix}) \\ \Rightarrow \vec{v} (\begin{matrix} v_{x} = v_{0} \cos α \\ v_{y} = - \frac{q E}{m} t + v_{0} \sin α \\ v_{z} = 0 \end{matrix}) \\ \Rightarrow \vec{OG} (\begin{matrix} x = (v_{0} \cos α) t \\ y = - \frac{q E}{2 m} t^{2} + (v_{0} \sin α) t \\ z = 0 \end{matrix}) \end{matrix}$

b. z = 0, donc le mouvement est dans le plan vertical (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) contenant $\vec{v_{0}}$ .

c. L’équation $x = (v_{0} \cos α) t$ donne : $t = \frac{x}{v_{0} \cos α}$ . En reportant dans l’équation y(t) : $y = - \frac{q E}{2 m} t^{2} + (v_{0} \sin α) t$ = $- \frac{q E}{2 m v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + (\tan α) x$ .

La trajectoire est donc parabolique.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

I) Champ électrique uniforme créé par un condensateur plan

II) Accélération d’une particule chargée dans un champ électrique

Méthode

Établir les équations du mouvement et de la trajectoire

Solution