Aspects énergétiques d’un mouvement dans un champ uniforme

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Le poids et la force électrique qui interviennent dans les champs de pesanteur et électrique ont des actions similaires et les bilans énergétiques pour le système en mouvement se ressemblent.

I. Poids et force électrique : des forces conservatives

Travail du poids (rappel de 1ère)
Lorsqu’un système de masse mm passe d’un point AA d’altitude zAz_A à un point BB d’altitude zBz_B, le travail du poids est :

WAB(P→)=m×g×(zA−zB)W_{AB}(\overrightarrow{P}) = m \times g \times (z_A - z_B)
Ce travail ne dépend pas du chemin suivi. Il correspond à l’opposé de la variation de l’énergie potentielle de pesanteur :
WAB(P→)=−ΔEPPW_{AB}(\overrightarrow{P}) = -\Delta E_{PP}
Le poids est une force conservative.
Travail de la force électrique
Lorsqu’une particule de charge qq passe d’un point AA à un point BB entre lesquels il existe une tension UABU_{AB}, le travail de la force électrique est :

WAB(F→)=q×UAB=q×(VA−VB)W_{AB}(\overrightarrow{F}) = q \times U_{AB} = q \times (V_A - V_B)
VAV_A et VBV_B sont les potentiels des points AA et BB. Ce travail ne dépend pas du chemin suivi. Il correspond à l’opposé de la variation de l’énergie potentielle électrique de la particule :
WAB(F→)=−ΔEPEW_{AB}(\overrightarrow{F}) = -\Delta E_{PE}
La force électrique est une force conservative.
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II. Conséquence : conservation de l’énergie mécanique

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme (rappel de 1ère)
Dans le cas d’une chute libre dans le champ de pesanteur entre deux points AA et BB, le poids P→ \overrightarrow{P} est la seule force qui s’exerce sur le système.
D’après le théorème de l’énergie cinétique :

ΔEC=WAB(P→)=−ΔEPP \Delta E_C = W_{AB}(\overrightarrow{P}) = -\Delta E_{PP}
Donc la variation de l’énergie mécanique vaut :

ΔEM=ΔEC+ΔEPP=0 \Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = 0 (énergie mécanique conservée)
Mouvement dans un champ électrique uniforme
Dans le cas d’un mouvement dans le champ électrique entre deux points A et B, si la force électrique F→ \overrightarrow{F} est la seule force qui s’exerce sur la particule, alors :
ΔEC=WAB(F→)=−ΔEPE \Delta E_C = W_{AB}(\overrightarrow{F}) = -\Delta E_{PE}
Donc la variation de l’énergie mécanique vaut :
ΔEM=ΔEC+ΔEPE=0 \Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PE} = 0 (énergie mécanique conservée).
a0a68044-690c-4e15-a6c6-e1cc6c62ef72Cas d’un système dont l’énergie potentielle diminue au profit de l’énergie cinétique : sa vitesse augmente.
Méthode : Exploiter la conservation de l’énergie mécanique
Dans un canon à électrons, un électron pénètre au pointAA dans un champ électrique uniforme d’un condensateur plan soumis à une tension électrique UPNU_{PN}.
Sa vitesse en AA est négligeable devant celle en BB.
Données :
  • masse de l’électron : m=9,11×10−31 kgm = 9,11 \times 10^{-31} ~\text{kg} ;
  • charge de l’électron : q=−e=−1,60×10−19 Cq = -e = -1,60 \times 10^{-19}~\text{C} ;
  • tension : UPN=7,50×102 VU_{PN} = 7,50 \times 10^2~\text{V}.
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a. Écrire le théorème de l’énergie cinétique pour le déplacement de l’électron entre AA et BB.
b. Comment évolue l’énergie mécanique de l’électron pendant son déplacement ?
c. En déduire la valeur de la vitesse de l’électron au point BB.
Conseils
a. Vous devez connaître l’expression du travail de la force électrique.
b. La force électrique est-elle conservative ?
c. Utilisez la conservation de l’énergie mécanique et développer l’expression de l’énergie cinétique pour faire apparaître la vitesse.
Solution
a. En considérant que seule la force électrique agit sur l’électron, la variation d’énergie cinétique de l’électron est égale au travail de cette force entre AA et BB :
b. L’électron n’est soumis qu’à la force électrique dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement de la position de AA et BB : c’est donc une force conservative. Donc son énergie mécanique se conserve : elle reste constante.
c. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit : EM(A)=EM(B)E_M(A)=E_M(B).
Or EM=EC+EPEE_M = E_C + E_{PE} donc :
ΔEM=ΔEC+ΔEPE=12m vB2−12m vA2+ΔEPE \Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PE} = \dfrac{1}{2} m~v_B^2 - \dfrac{1}{2} m~v_A^2 + \Delta E_{PE}
ΔEM=12m vB2−e UPN=0 \Delta E_M = \dfrac{1}{2} m~v_B^2 - e~U_{PN} = 0
On en déduit que :
vB2=2 e UPNmv_B^2 = \dfrac{2~e~U_{PN}}{m}
soit vB=2 e UPNmv_B = \sqrt{\dfrac{2~e~U_{PN}}{m}}.
Leçon précédente
Mouvement dans un champ électrique uniforme
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Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme