Mouvement d'un système

Après quelques rappels de cinématique, cette fiche précise le lien entre le mouvement d'un système et les actions mécaniques qu'il subit.

I. Rappels des notions abordées en seconde

• La notion de mouvement étudiée en classe de seconde est supposée connue.

• En cas de besoin, on pourra réviser les fiches suivantes :

  $\circ\quad$ Relativité du mouvement ;

  $\circ\quad$ Représentation et variation d'un vecteur vitesse ;

  $\circ\quad$ Modélisation d'une action par une force ;

  $\circ\quad$ Principe d'inertie.

• Remarque importante : dans la présente fiche, les systèmes physiques sont assimilés à des points matériels.

1. Centre d'inertie

• Définition :

  Le centre d'inertie d'un système est le point qui a la trajectoire la plus simple au cours du mouvement. Il est appelé aussi centre de masse.

• Remarque : si on ne s'intéresse qu'au mouvement général d'un système, on peut se limiter à l'étude de la trajectoire de son centre d'inertie.

2. Position d'un mobile

• Sur la figure suivante est représenté le mouvement d'un mobile par une suite de points :

• Pour repérer le mobile dans l'espace, on utilise le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

• Le point $M_1$ est la position de $M$ à l'instant $t_1$ ; elle peut s'exprimer de deux façons différentes (mais équivalentes) dans $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ :

  $\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{1)}}$ par les coordonnées du point que l'on note : $M_1 (5~ ;~ 7)$ ou encore $M_1 \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$ ;

  $\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{2)}}$ par le vecteur position $\overrightarrow{OM_{1}} = 5 \overrightarrow{i} + 7 \overrightarrow{j}$ qui s'écrit aussi : $\overrightarrow{OM_{1}}(5~ ;~7)$ ou encore $\overrightarrow{OM_{1}} \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$.

3. Vecteur vitesse

• Définition :

  Le vecteur vitesse, noté $\overrightarrow{v}$, est une grandeur orientée permettant de connaître la direction, le sens et la valeur de la vitesse d'un point $M$ à un instant $t$ donné.

  Il est caractérisé par :

  $\circ\quad$ Son point d'application : le point $M$ où se trouve le système à l'instant $t$ ;

  $\circ\quad$ Sa direction : la tangente à la trajectoire en $M$ ;

  $\circ\quad$ Son sens : celui du mouvement ;

  $\circ\quad$ Sa norme : la valeur de la vitesse.

• Dans le système international, l'unité de la vitesse est le $\text{m/s}$.

• Il existe d'autres unités de vitesse comme le $\text{km/h}$ par exemple. Il faut alors procéder à des conversions d'unité.

4. Détermination graphique d'une vitesse

• La vitesse d'un point mobile à un instant $t$ peut être assimilée à sa vitesse moyenne sur un intervalle très court encadrant l'instant $t$.

• Considérons par exemple le mouvement d'une balle, représentée par le point $M$ sur l'enregistrement suivant :

• Pour évaluer le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_{1}}$ du mobile en $M_1$ on peut écrire :

  $\boxed{ \overrightarrow{v_{1}} = \dfrac{\overrightarrow{M_{1}M_{2}}}{\delta t}}$

• On en déduit ses caractéristiques :

  $\circ\quad$ Point d'application : $M_1$ ;

  $\circ\quad$ Direction : la droite $M_1M_2$ ;

  $\circ\quad$ Sens : de $M_1$ vers $M_2$ (sens du mouvement) ;

  $\circ\quad$ Norme : $v_{1} = \dfrac{M_{1}M_{2}}{\delta t}$

• Si on mesure $M_{1}M_{2} = 5 \: cm$ sur le schéma alors, en tenant compte des diverses échelles, on trouve :

  $v_{1} = \dfrac{0,05 \times 2 }{0,1} = 1 \: m/s$

  (soit 3 cm sur la figure)

• Remarque : certains énoncés définissent une autre formule approchée pour évaluer la vitesse en un point $M_i$ :

  $\boxed{ \overrightarrow{v_{i}} = \dfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\delta t}}$

  Il faut alors adapter le raisonnement : ainsi en $M_2$ (donc pour $i = 2$) on obtient la relation :

  $\boxed{ \overrightarrow{v_{2}} = \dfrac{\overrightarrow{M_{1}M_{3}}}{2\delta t}}$

  $\circ\quad$ La direction est alors : la droite $M_1M_3$ ;

  $\circ\quad$ Et la norme est : $v_{2} = \dfrac{M_{1}M_{3}}{2 \delta t}$.

II. Détermination de la variation de vitesse

• Pour caractériser le mouvement d'un système, il faut s'intéresser non seulement à la vitesse du centre de masse, mais aussi à la variation du vecteur vitesse au cours du temps.

• Considérons par exemple la chute libre d'une balle, représentée par le point M sur la figure suivante :

• Le vecteur vitesse du mobile $M$ est déjà indiqué sur la figure et on remarque que ce vecteur varie d'un point à l'autre sous l'effet du poids $\overrightarrow{P}$ (qui est l'unique force que subit la balle).

• Cherchons la variation du vecteur vitesse en $M_3$, notée $\Delta \overrightarrow{v_3}$ : cette variation est la différence entre les vitesses $\overrightarrow{v_3}$ et $\overrightarrow{v_2}$, ce qu'on écrit :

  $\boxed{\Delta \overrightarrow{v_3} = \overrightarrow{v_3} - \overrightarrow{v_2}}$

  $\Delta \overrightarrow{v_3}$ est donc un vecteur : sa norme s'exprime dans les mêmes unités qu'une vitesse.

• Attention à bien distinguer le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_3}$ du vecteur variation de vitesse $\Delta \overrightarrow{v_3}$ !

• Pour tracer $\Delta \overrightarrow{v_3}$, c'est-à-dire la différence entre $\overrightarrow{v_3}$ et $\overrightarrow{v_2}$, on peut procéder de la façon suivante :

  $\circ\quad$ On reporte $\overrightarrow{v_3}$ en un point $A$ quelconque (à droite sur la figure) ;

  $\circ\quad$ Puis l'opposé de $\overrightarrow{v_2}$ (c'est-à-dire $-\overrightarrow{v_2}$) à l'extrémité de $\overrightarrow{v_3}$ ;

  $\circ\quad$ Et on rejoint $A$ à l'extrémité de $-\overrightarrow{v_2}$ pour obtenir $\Delta \overrightarrow{v_3}$ ;

  $\circ\quad$ On reporte enfin $\Delta \overrightarrow{v_3}$ en $M_3$ (si la figure le permet, il est possible de faire la construction directement en $M_3$).

III. Lien entre forces et variation de vitesse

1. Deuxième loi de Newton

• Lors du mouvement d'un système, il existe un lien direct entre :

  $\circ\quad$ Le vecteur variation de vitesse du centre de masse ;

  $\circ\quad$ Et la résultante des forces appliquées au système.

• Ceci constitue la deuxième loi de Newton appelée aussi loi (ou principe) fondamentale de la dynamique.

• Deuxième loi de Newton :

  Au cours du mouvement d'un système de masse $m$,

  $\circ\quad$ La variation de vitesse $\Delta \overrightarrow{v}$ de son centre de masse ;

  $\circ\quad$ Et la résultante $\sum \overrightarrow{F}$ des forces appliquées ;

  sont reliées à tout instant par la relation approchée suivante :

  $\boxed{\sum \overrightarrow{F} \approx m \dfrac{\Delta\overrightarrow{v}}{ \Delta t}}$

  Cette loi n'est toutefois valable que si le référentiel choisi pour l'étude est galiléen.

• Remarque : cette relation est valable en tout point $M$ de la trajectoire du centre de masse : $\Delta \overrightarrow{v}$ correspond alors à la variation de vitesse en $M$, calculée à l'aide de deux points voisins séparés par un intervalle de temps $\Delta t$.

2. Conséquences de la deuxième loi de Newton

• Dans ce paragraphe, les termes trajectoire et vitesse désignent la trajectoire ou la vitesse du centre de masse du système.

• Contrairement à ce que nous dicte l'intuition, les forces ne déterminent pas directement la vitesse, mais la variation de vitesse. Une force résultante nulle implique soit l'immobilité, soit un mouvement rectiligne uniforme : dans ce dernier cas, le vecteur vitesse ne varie pas ($\Delta \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$), mais il n'est pas nul ($\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}$).

• En tout point de la trajectoire, le vecteur variation de vitesse est toujours colinéaire à la résultante des forces et de même sens (car m et $\Delta t$ sont positifs).

• Si les forces subies par le système sont connues à tout instant, il est possible de calculer comment varie la vitesse et donc de déterminer la trajectoire du centre de masse (si on connaît la position et la vitesse de départ) ; c'est l'énorme intérêt de cette loi.

• Si au contraire la trajectoire est connue, on peut alors en déduire des informations sur les forces.

• On retrouve le principe d'inertie (et sa réciproque) : en effet, si le vecteur vitesse est constant, sa variation est nulle et donc la résultante des forces aussi ; et réciproquement. On retrouve donc l'équivalence suivante :

  $\boxed{\sum \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \Delta\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}}$

• Enfin, la masse $m$ intervenant dans la relation caractérise en fait l'inertie du système. Plus $m$ est grand, plus l'effet d'une force donnée (c'est-à-dire la variation de vitesse) sera petit. Il est en effet plus difficile de pousser un camion qu'une voiture !

IV. Applications

• Pour illustrer la 2^e loi de Newton, nous allons l'appliquer successivement :

  $\circ\quad$ Au mouvement d'une fusée au décollage ;

  $\circ\quad$ Et à la chute libre, qui est un mouvement très particulier qu'il faut connaître.

1. Mouvement d'une fusée

• On considère une fusée de masse $m = 1~400~t$ au décollage ; $1~t$ (tonne) $= 1~000~kg$.

• On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

• La figure suivante montre les premières secondes du décollage de la fusée assimilée à son centre d'inertie G, ainsi que les forces appliquées à la fusée :

• Le mouvement est rectiligne et accéléré (la vitesse augmente au cours du temps).

• Le bilan des forces est le suivant :

  $\circ\quad$ Le poids de la fusée $\overrightarrow{P}$, vertical et orienté vers le bas, de norme :

  $P = m \cdot g = 1400 \cdot 10^3 \cdot 9,81 = 13,7 \cdot 10^6~N$

  N.B. : on négligera les variations de masse de la fusée durant cette phase très courte du décollage ;

  $\circ\quad$ La poussée des moteurs $\overrightarrow{F}$ verticale, orientée vers le haut et supposée constante :

  $F = 23,7 \times 10^6~N$

  (donnée du constructeur)

  $\circ\quad$ La résultante des forces $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F}$ est donc aussi verticale et sa valeur constante :

  $R = F - P = 10^7~N$

• Remarque : la résultante des forces n'est pas notée $\sum \overrightarrow{F}$ pour éviter toute confusion avec la poussée $\overrightarrow{F}$.

• Nous allons vérifier la deuxième loi de Newton, en traçant les variations de vitesse en $G_2$ et $G_3$.

• Les vecteurs $\Delta \overrightarrow{v_2}$ et $\Delta \overrightarrow{v_3}$ obtenus sur la figure sont bien colinéaires à la résultante des forces $\overrightarrow{R}$ et de même sens.

• Nous pouvons calculer leur valeur en appliquant la formule de la 2^e loi de Newton :

  $\circ\quad$ En $G_2$ :

  $R = \dfrac{m \cdot \Delta v_{2}}{\Delta t}$

  donc $\Delta v_{2} = \dfrac{R \cdot \Delta t}{m}$

  $\circ\quad$ Comme $\overrightarrow{\Delta v_{2}}$ a été calculé à partir de 2 points successifs ($M_1$ et $M_2$), $\Delta t$ vaut ici $1~s$ et on trouve :

  $\Delta v_{2} = \dfrac{R \cdot \Delta t}{m} = \dfrac{10^{7} \times 1 }{1,4 \: 10^{6}} = 7,1 \: m/s$

  Ce qui correspond bien à un vecteur $\Delta \overrightarrow{v_2}$ de longueur $7,1 / 7 \approx 1~cm$ sur la figure.

  $\circ\quad$ En $G_3$ : le calcul donne exactement le même résultat car $R$, $m$ et $\Delta t$ ne varient pas, donc $\Delta \overrightarrow{v_3} = \Delta \overrightarrow{v_2}$, ce que l'on constate aussi sur la figure.

2. Étude de la chute libre

• Définition :

  Un système est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids.

• Rappel : à la surface du globe (ou encore à basse altitude) le poids est une force verticale dirigée vers le bas et de norme :

  $\boxed{P = m \times g}$

  ($g$ étant l'intensité de la pesanteur, de valeur $g = 9,81~N/kg$ à Paris)

• Considérons par exemple la chute libre d'une balle, représentée par le point $M$ sur la figure suivante :

• Nous avons expliqué plus haut comment tracer les vecteurs variation de vitesse $\Delta \overrightarrow{v}$ représentés sur la figure, en $M_1$, $M_2$ et $M_3$.

• On remarque immédiatement que $\Delta \overrightarrow{v}$ est bien colinéaire à $\overrightarrow{P}$ (qui est ici la résultante des forces) et de même sens.

• Calculons la valeur de la variation de vitesse :

  $\circ\quad$ D'après la 2^e loi de Newton nous pouvons écrire en $M_1$ :

  $P = \dfrac{m \cdot \Delta v_{1}}{\Delta t}$

  $\circ\quad$ Mais $P = m \cdot g$ donc on obtient :

  $m \cdot g = \dfrac{m \cdot \Delta v_{1}}{\Delta t} \Leftrightarrow g = \dfrac{ \Delta v_{1}}{\Delta t}$

  après simplification par $m$

  $\circ\quad$ On en déduit un résultat remarquable : la variation de vitesse, lors d'une chute libre, ne dépend pas de la masse du système !

• Le même raisonnement en un autre point $M$ montrerait que nous avons toujours la relation :

  $\boxed{ \dfrac{ \Delta v}{\Delta t} = g}$

• Et nous pouvons généraliser le résultat de la façon suivante :

  Propriété de la chute libre

  Si un système est en chute libre, en tout point M de la trajectoire de son centre de masse, la variation de vitesse est donnée par la relation :

  $\boxed{ \dfrac{ \Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t} = \overrightarrow{g}}$

• Il suffit donc de connaître le champ de pesanteur ($\overrightarrow{g}$) d'un astre pour déterminer le mouvement d'un corps en chute libre quelle que soit sa masse : on dit que la chute libre est universelle.

• La vidéo suivante montre qu'effectivement une boule de bowling et une plume tombent de la même façon dans le vide :

Boule de bowling vs plume

• Remarques :

  $\circ\quad$ En toute rigueur ce résultat n'est valable que si la masse du système est négligeable devant celle de la terre (ou de l'astre concerné).

  $\circ\quad$ Le mouvement de chute libre dépend aussi de la façon dont le système est lancé. On distingue ainsi la chute libre verticale, la chute libre parabolique et l'orbite d'un satellite.

  $\circ\quad$ Sur Terre, l'atmosphère empêche la chute libre car l'air s'oppose au déplacement. Pour les chutes à faible vitesse, on peut toutefois négliger la résistance de l'air, par exemple : chute d'une pomme ou mouvement d'une boule de pétanque (en l'air, pas au sol !). En revanche l'approximation n'est plus du tout valable pour le mouvement d'une balle de golf.

  $\circ\quad$ Dans l'espace (ou sur la Lune) il n'y a pas d'atmosphère et les corps peuvent donc être en chute libre : par exemple les sondes spatiales ou les satellites.

  $\circ\quad$ Enfin, les planètes sont en chute libre autour du Soleil et les satellites naturels sont en chute libre autour de leur astre respectif (par exemple la Lune autour de la Terre).

_{= Merci à krinn / Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}