Les matrices sont des tableaux de nombres que l’on peut additionner, multiplier par un réel et multiplier entre eux dans certaines conditions.
I) Définitions et représentation
Définitions : Soient et deux entiers naturels non nuls.
Une matrice de format associe à tout couple d’entiers tels que et , un nombre appelé coefficient.
Si , M est une matrice ligne ; si , M est une matrice colonne et si , M est une matrice carrée d’ordre .
Soit une matrice carrée d’ordre de coefficients : on appelle diagonale de la matrice les coefficients , , …, .
Représentation : On représente une matrice par un tableau de nombres à lignes et colonnes ; étant alors le coefficient de la -ième ligne et -ième colonne de la matrice : .
II) Opérations sur les matrices carrées
Définitions : Soient , , et des matrices de format .
La matrice somme des matrices et a pour coefficients .
La matrice opposée de la matrice a pour coefficients .
La matrice produit de la matrice par le réel a pour coefficients .
Soit et soit une matrice de format . La matrice produit des matrices et a pour coefficients .
Propriétés : Soient , et des matrices carrées de même ordre , , et des réels.
À noter
En général et il se peut que , alors que et .
Méthodes
1) Déterminer le format et certains coefficients d’une matrice
et .
a. Déterminer le format de chacune des matrices.
b. Que valent et ? Que peut-on dire de la matrice ?
Conseils
a. Il faut déterminer le nombre de lignes et le nombre de colonnes.
b. Le coefficient se situe sur la -ième ligne et la -ième colonne.
Solution
a. La matrice a 2 lignes et 3 colonnes, elle est de format . La matrice B est une matrice carrée, la matrice est une matrice colonne et la matrice est une matrice ligne, elles ont toutes trois pour ordre 3.
b. Le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de est donc . On a de même . La matrice est une matrice diagonale car tous ses coefficients hors de la diagonale sont nuls.
2) Additionner et multiplier des matrices
En utilisant les matrices définies ci-dessus, calculer , , et .
Conseils
Le coefficient de la -ième ligne et la -ième colonne d’un produit s’obtient en multipliant la -ième ligne de la première matrice par la -ième colonne de la seconde.
Solution
, avec .et .