Les matrices sont des tableaux de nombres que l’on peut additionner, multiplier par un réel et multiplier entre eux dans certaines conditions.

I. Définitions et représentation

Définitions : Soient n et p deux entiers naturels non nuls.

Une matrice M de format n×p associe à tout couple d’entiers i, j tels que $1\le i\le n$ et $1\le j\le p$ , un nombre $m_{ij}$ appelé coefficient.

Si $n=1$ , $M$ est une matrice ligne ; si $p=1$ , $M$ est une matrice colonne et si $p=n$ , $M$ est une matrice carrée d’ordre $n$ .

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ de coefficients $a_{ij}$ : on appelle diagonale de la matrice $A$ les coefficients $a_{11}$ , $a_{22}$ , …, $a_{nn}$ .

Représentation : On représente une matrice par un tableau de nombres à $n$ lignes et $p$ colonnes ; $m_{ij}$ étant alors le coefficient de la i-ième ligne et j-ième colonne de la matrice : $\begin{pmatrix} m_{11}&.&.&.&m_{1p}\\ .&.&&&.\\ .&&.&&.\\ .&&&.&.\\ m_{n1}&.&.&.&m_{np}\end{pmatrix}$

II. Opérations sur les matrices carrées

Définitions : Soient n∈ℕ∗, p∈ℕ∗, $A$ et $B$ des matrices de format $n\times p$ .

La matrice somme des matrices $A$ et $B$ a pour coefficients $a_{ij}+b_{ij}$ .

La matrice opposée de la matrice $A$ a pour coefficients $-a_{ij}$ .

La matrice produit de la matrice $A$ par le réel $\lambda$ a pour coefficients $\lambda\; a_{ij}$ .

Soit $m$ ∈ℕ∗ et soit $C$ une matrice de format $p\times m$ . La matrice $BC$ produit des matrices $B$ et $C$ a pour coefficients $b_{i1}c_{1j}+b_{i2}c_{2j}+\dots +b_{ip}c_{pj}$ .

Propriétés : Soient $A$ , $B$ et $C$ des matrices carrées de même ordre $n$ , $n$ ∈ℕ∗, $k$ et k′ des réels.

$A+B=B+A$

$(k+k')A=kA+k'A$

$kAB=AkB=kAB$

$A+B+C=A+B+C$

$k(A+B)=kA+kB$

$A(B+C)=AB+AC$

$A(BC)=(AB)C$

$(kk')A=k(k'A)$

$(A+B)C=AC+BC$

À noter

En général $AB\neq BA$ et il se peut que $AB=O_n$ , alors que $A\neq O_n$ et $B\neq O_n$ .

Méthodes

1) Déterminer le format et certains coefficients d’une matrice

$A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\0&4&-1\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ,

$C=\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\end{pmatrix}$ , et $D=\begin{pmatrix} 1&1&-5\end{pmatrix}$

a. Déterminer le format de chacune des matrices.

b. Que valent $a_{21}$ et $b_{12}$ ? Que peut-on dire de la matrice $B$ ?

Conseils

a. Il faut déterminer le nombre de lignes et le nombre de colonnes.

b. Le coefficient $m_{ij}$ se situe sur la i-ième ligne et la j-ième colonne.

Solution

a. La matrice $A$ a 2 lignes et 3 colonnes, elle est de format 2×3. La matrice $B$ est une matrice carrée, la matrice $C$ est une matrice colonne et la matrice $D$ est une matrice ligne, elles ont toutes trois pour ordre 3.

b. Le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de $A$ est 0 donc $a_{21}=0$ . On a de même $b_{12}=0$ . La matrice $B$ est une matrice diagonale car tous ses coefficients hors de la diagonale sont nuls.

2) Additionner et multiplier des matrices

En utilisant les matrices définies ci-dessus, calculer $AB$ , $CD$ , $DC$ et $DB+2D$ .

Conseils

Le coefficient de la i-ième ligne et la j-ième colonne d’un produit s’obtient en multipliant la i-ième ligne de la première matrice par la j-ième colonne de la seconde.

Solution

$AB=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&4&-1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix} 1&4&0\\ 0&8&0\end{pmatrix}$

Exemple :

a_{11}=1\times 1+2\times 0+3\times 0=1

$CD=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1&1&-5\end{pmatrix}$

$CD=6$

et $DC=\begin{pmatrix} 1&1&-5\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}$

$DC=6$

_{Eventuellement, tenir le téléphone en mode paysage pour voir l'intégralité du calcul suivant.}

$DB+2D=\begin{pmatrix} 1&1&-5\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 1&1&-5\end{pmatrix}$

$DB+2D=\begin{pmatrix} 1&2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2&2&-10\end{pmatrix}$

$DB+2D=\begin{pmatrix}3&4&-10\end{pmatrix}$ .

Matrices et opérations

I. Définitions et représentation

II. Opérations sur les matrices carrées

Méthodes

1) Déterminer le format et certains coefficients d’une matrice

Solution

2) Additionner et multiplier des matrices

Solution