Loi uniforme

I. Définition

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur ${a, a+1, \ldots, b}$ si elle prend pour valeurs les entiers de $a$ à $b$ de manière équiprobable,
c'est-à-dire si $\mathbb{P}(X = k) = \dfrac{1}{b - a + 1}$ pour tout entier $k \in \{a, a+1, \ldots, b\}$.

II. Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur ${a, a+1, \ldots, b}$, on a :

$\circ\quad \mathbb{E}(X) = \dfrac{a + b}{2}$

$\circ\quad \text{Var}(X) = \dfrac{(b - a + 1)^2 - 1}{12}$

$\circ\quad \mathbb{P}(X \leq k) = \dfrac{k - a + 1}{b - a + 1}$ pour tout entier $k \in \{a, \ldots, b\}$

$\circ$ Probabilité cumulative dans une loi uniforme discrète

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’ensemble $\{a, a+1, \ldots, b\}$.

Alors, pour tout entier $k \in \{a, \ldots, b\}$ : $\mathbb{P}(X \leq k) = \dfrac{k - a + 1}{b - a + 1}$

Remarques :

$\circ\quad$ Si k < a, alors $\mathbb{P}(X \leq k) = 0$

$\circ\quad$ Si $k \geq b$, alors $\mathbb{P}(X \leq k) = 1$

Démonstration

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’ensemble $\{a, a+1, \ldots, b\}$.

Par définition, pour tout entier $x \in \{a, a+1, \ldots, b\}$, on a : $\mathbb{P}(X = x) = \dfrac{1}{b - a + 1}$

On veut calculer : $\mathbb{P}(X \leq k) = \displaystyle\sum_{x = a}^{k} \mathbb{P}(X = x)$

Cette somme n’a de sens que si $k \geq a$.

On a alors : $\mathbb{P}(X \leq k) = \sum_{x = a}^{k} \dfrac{1}{b - a + 1}$

On additionne $(k - a + 1)$ termes identiques :

$\mathbb{P}(X \leq k) = (k - a + 1) \cdot \dfrac{1}{b - a + 1}$

D’où : $\mathbb{P}(X \leq k) = \dfrac{k - a + 1}{b - a + 1}$

II. Exercice d'application

Énoncé

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’ensemble ${3, 4, 5, 6, 7}$.

$1.$ Quelle est la probabilité que $X$ prenne la valeur $5$ ?

$2.$ Calculer l'espérance $\mathbb{E}(X)$.

$3.$ Calculer la variance $\text{Var}(X)$.

$4.$ Calculer la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à $6$.

Solution :

Données : $X$ suit la loi uniforme sur l’ensemble ${3, 4, 5, 6, 7}$
Donc ici, $a = 3$ et $b = 7$

$1.$ Quelle est la probabilité que $X$ prenne la valeur $5$ ?

Formule : $\mathbb{P}(X = k) = \dfrac{1}{b - a + 1}$

Donc : $\mathbb{P}(X = 5) = \dfrac{1}{7 - 3 + 1} = \dfrac{1}{5}$

$2.$ Calculer l'espérance $\mathbb{E}(X)$

Formule : $\mathbb{E}(X) = \dfrac{a + b}{2}$

Donc : $\mathbb{E}(X) = \dfrac{3 + 7}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

$3.$ Calculer la variance $\text{Var}(X)$

Formule : $\text{Var}(X) = \dfrac{(b - a + 1)^2 - 1}{12}$

On calcule : $(b - a + 1)^2 = (7 - 3 + 1)^2 = 5^2 = 25$

Donc : $\text{Var}(X) = \dfrac{25 - 1}{12} = \dfrac{24}{12} = 2$

$4.$ Calculer la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à $6$

Formule : $\mathbb{P}(X \leq k) = \dfrac{k - a + 1}{b - a + 1}$

Donc : $\mathbb{P}(X \leq 6) = \dfrac{6 - 3 + 1}{5} = \dfrac{4}{5}$