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I. Définition
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur a,a+1,…,b si elle prend pour valeurs les entiers de a à b de manière équiprobable,
c'est-à-dire si P(X=k)=b−a+11 pour tout entier k∈{a,a+1,…,b}.
II. Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur a,a+1,…,b, on a :
∘E(X)=2a+b
∘Var(X)=12(b−a+1)2−1
∘P(X≤k)=b−a+1k−a+1 pour tout entier k∈{a,…,b}
∘ Probabilité cumulative dans une loi uniforme discrète
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’ensemble {a,a+1,…,b}.
Alors, pour tout entier k∈{a,…,b} : P(X≤k)=b−a+1k−a+1
Remarques :
∘ Si k<a, alors P(X≤k)=0
∘ Si k≥b, alors P(X≤k)=1
Démonstration
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’ensemble {a,a+1,…,b}.
Par définition, pour tout entier x∈{a,a+1,…,b}, on a : P(X=x)=b−a+11
On veut calculer : P(X≤k)=x=a∑kP(X=x)
Cette somme n’a de sens que si k≥a.
On a alors : P(X≤k)=∑x=akb−a+11
On additionne (k−a+1) termes identiques :
P(X≤k)=(k−a+1)⋅b−a+11
D’où : P(X≤k)=b−a+1k−a+1
II. Exercice d'application
Énoncé
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’ensemble 3,4,5,6,7.
1. Quelle est la probabilité que X prenne la valeur 5 ?
2. Calculer l'espérance E(X).
3. Calculer la variance Var(X).
4. Calculer la probabilité que X soit inférieure ou égale à 6.
Solution :
Données : X suit la loi uniforme sur l’ensemble 3,4,5,6,7
Donc ici, a=3 et b=7
1. Quelle est la probabilité que X prenne la valeur 5 ?
Formule : P(X=k)=b−a+11
Donc : P(X=5)=7−3+11=51
2. Calculer l'espérance E(X)
Formule : E(X)=2a+b
Donc : E(X)=23+7=210=5
3. Calculer la variance Var(X)
Formule : Var(X)=12(b−a+1)2−1
On calcule : (b−a+1)2=(7−3+1)2=52=25
Donc : Var(X)=1225−1=1224=2
4. Calculer la probabilité que X soit inférieure ou égale à 6
Formule : P(X≤k)=b−a+1k−a+1
Donc : P(X≤6)=56−3+1=54