Loi binomiale et loi géométrique

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La loi binomiale formalise un schéma de Bernoulli ; la loi géométrique formalise le temps d’attente du premier succès dans une succession d’épreuves identiques et indépendantes.

I. Loi binomiale

Définition : Une expérience consiste à répéter nn fois une même action, les répétitions étant indépendantes. Une action produit un succès avec une probabilité pp.
Soit XX la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des nn répétitions. La loi de XX est la loi binomiale de paramètres nn et pp et on a :
X(Ω)=0,1,2,…,n.X(Ω) = {0, 1, 2, \ldots, n}.
Pour tout k∈X(Ω)k \in X(Ω) :
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k=(nk)pkqn−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
Espérance E(X)=npE(X) = np et variance V(X)=npqV(X) = npq.
On écrit que XX suit la loi B(n;p)\mathcal{B}(n ; p), en abrégé : X∼B(n;p)X \sim \mathcal{B}(n ; p).
À noter
On pose habituellement q = 1 - p.
Exemple : Une pièce de monnaie est truquée de telle sorte que la probabilité de pile soit égale à 0,6. Si X est la variable aléatoire comptant le nombre de piles obtenus au cours de 5 lancers, la loi de X est la loi ℬ(5 ; 0,6).

II. Loi géométrique

Définition : Une expérience consiste à répéter un certain nombre de fois une même action, les répétitions étant indépendantes, jusqu’à l’obtention du premier succès, auquel cas on arrête l’expérience. Une action produit un succès avec une probabilité pp.
Soit XX la variable aléatoire égale au rang du premier succès. La loi de XX est la loi géométrique de paramètre pp et on a :
X(Ω)=N∗.X(Ω) = \mathbb{N}^*.
Pour tout k∈X(Ω)k \in X(Ω) :
P(X=k)=qk−1pP(X = k) = q^{k - 1} p
Espérance E(X)=1pE(X) = \dfrac{1}{p} et variance V(X)=qp2V(X) = \dfrac{q}{p^2}.
On écrit que XX suit la loi G(p)\mathcal{G}(p), en abrégé : X∼G(p)X \sim \mathcal{G}(p).

Exemple : On considère une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité de pile soit égale à 0,60,6. On la jette jusqu’à ce que l’on obtienne pile pour la première fois, auquel cas on s’arrête.
Soit XX le rang d’apparition du premier pile. Alors X∼G(0,6)X \sim \mathcal{G}(0,6)
Méthodes


Utiliser une loi binomiale
On jette un dé cubique ordinaire 10 fois. Soit XX la variable aléatoire comptant le nombre de faces 4 obtenues.
1.1. Identifier la loi de XX.
2.a.2.a. Calculer, à 10−310^{-3} près, la probabilité d’obtenir au moins trois faces 4.
2.b.2.b. Calculer, à 10−310^{-3} près,  P(2≤X<5)P(2\le X\lt 5).       

Conseils
1.1. Un succès est l’obtention d’une face 4.
2.a.2.a. Pensez à l’événement contraire et utilisez les touches spécialisées de la calculatrice.
b.b. Bien prendre en compte les inégalités larges et strictes.

Solution :
1.1.On répète dix fois de manière indépendante la même épreuve. La probabilité de succès est 16 \dfrac{1}{6} car le dé est cubique. C’est pourquoi X∼B(10;16) X \sim \mathcal{B}(10 ; \dfrac{1}{6}) .
2.a2.a. La probabilité d’obtenir au moins trois faces 4 est :
P(X≥3)=1−P(X≤2) P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)
=1−((100)(16)0(56)10+(101)(16)1(56)9+(102)(16)2(56)8). = 1 - \left( \binom{10}{0} \left(\dfrac{1}{6}\right)^0 \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10} + \binom{10}{1} \left(\dfrac{1}{6}\right)^1 \left(\dfrac{5}{6}\right)^9 + \binom{10}{2} \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \left(\dfrac{5}{6}\right)^8 \right).
La calculatrice fournit P(X≥3)≈0,225 P(X \geq 3) \approx 0,225 .
2.b2.b. P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)≈0,500. P(2 \leq X \lt 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \approx 0,500.


2) Utiliser une loi géométrique

Dans l’urne ci-contre, on effectue des tirages ­aléatoires d’une boule avec remise. Soit X le rang d’apparition de la première boule blanche.
1d73d82a-ae7b-42bf-93ea-5dafb3b40ed4
1.1. Identifier la loi de XX.
2.2. Calculer la probabilité pour que la première boule blanche apparaisse au quatrième tirage

Solution
1.1. Un succès étant l’apparition d’une boule blanche, de probabilité 310 \dfrac{3}{10} , XX est égal au rang du premier succès lors de la répétition d’épreuves identiques et indépendantes. C’est pourquoi X∼G(0,3) X \sim \mathcal{G}(0,3) .
2.2. On cherche P(X=4) P(X = 4) et on trouve (0,7)3×0,3 (0,7)^3 \times 0,3 , c’est-à-dire 0,1029 0,1029 .
Conseils
1. Bien considérer la première boule blanche obtenue.
2. Les tirages qui précèdent le quatrième comportent alors des boules noires.
Leçon précédente
Coefficients binomiaux