Loi binomial - Mathématiques - Terminale générale

La loi binomiale est la loi d’une variable aléatoire qui formalise un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions.

I. Expérience aléatoire et loi binomiale

Considérons une expérience aléatoire qui consiste à répéter $n$ fois une même action, les répétitions étant indépendantes. Une action produit un succès avec une probabilité $p$.

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des $n$ répétitions. La loi de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ et on a :

$X(\Omega) = (0,1,2, \ldots ,n) = (0 ~ ; ~ n)$ ;

pour tout $k \in X(\Omega)$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$

À noter

Les crochets doubles indiquent qu’on considère les entiers entre $0$ et $n$.

où $\binom{n}{k}$ est un coefficient binomial.

On écrit que $X$ suit la loi $B(n ~ ; ~ p)$, en abrégé : $X \text{~} B(n ~ ; ~ p)$.

La loi binomiale formalise un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions.

À noter

On pose habituellement $q = 1 - p$.

Une loi de Bernoulli est une loi binomiale de paramètres $1$ et $p$.

II. Exemples de lois binomiales et calculatrice

Une même loi binomiale décrit de nombreuses expériences aléatoires différentes. Par exemple, la loi binomiale $B(5 ~ ; ~ 0,6)$ est la loi de la variable aléatoire :

• comptant le nombre de « pile » obtenus en $5$ lancers d’une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité de « pile » soit égale à $0,6$ ;
  
  
• comptant le nombre de boules blanches obtenues lors d’un tirage avec remise de cinq boules dans une urne contenant $60 \%$ de boules blanches et $40 \%$ de boules noires.

Mot-clé

La loi binomiale s’appelle aussi la loi du nombre de succès au cours d’une répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes.

Les calculatrices et les tableurs disposent de fonctions dédiées à la loi binomiale. Elles figurent dans les menus relatifs aux probabilités et permettent, en fournissant les valeurs de $n$, $p$ et $k$, de calculer $P(X=k)$ et $P(X \le k)$.

Conseils

a. Appliquez la formule des probabilités totales, éventuellement en utilisant un arbre.

b. Utilisez une loi binomiale en identifiant $n$, le nombre de répétitions, et $p$, la probabilité de succès. Pensez à l’événement contraire de l’événement « au moins deux coques ».

À noter

L’événement $A$ (respectivement $B$) est « la coque est produite par la machine $A$ (la machine $B$) » et $B=\bar{A}$.