Limites et continuité

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Certaines courbes peuvent être tracées sans lever le crayon, d’autres pas. On peut retrouver ce critère grâce à l’étude de la continuité de la fonction associée à la courbe.

I) Définitions – Propriétés

Définition : Soit x0 un réel appartenant à un intervalle I. Une fonction f définie sur I est continue en x0 si f admet une limite finie en x0. Cette limite est alors f(x0).

Une fonction f définie sur un intervalle I est continue sur I si f est continue en tout point de I.

Contre-exemple : La fonction ci-contre est continue sur ]− 2 ; 0] et sur ]0 ; 2] mais pas sur tout l’intervalle [− 2 ; 2].

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Exemples :

Les fonctions polynômes sont continues sur .

La fonction xx est continue sur 0;+.

La fonction exponentielle est continue sur .

Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.

Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.

II) Théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que fc=k.

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Remarque : Cela revient à dire que, si k est compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet au moins une solution comprise entre a et b.

Corollaire : théorème de la bijection

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a;b, alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation fx=k a une solution unique dans [a;b].

Méthode

Déterminer une solution de l’équation (x ) = 0

Montrer que l’équation (E) x3+x2x+2=0 admet une unique solution dans l’intervalle [1 ; 2].

Conseils

Pour démontrer ce résultat, appliquez le théorème de la bijection avec = 0.

Étape 1 Explicitez la fonction f à laquelle on souhaite appliquer ce théorème.

Étape 2 Vérifiez toutes les hypothèses nécessaires :

f est continue sur [a ; b] ; f est strictement monotone sur [a ; b] et 0 est compris entre f(a) et f(b).

Étape 3 Appliquez le théorème de la bijection et conclure.

Solution

Étape 1 On introduit la fonction f définie par fx=x3+x2x+2.

Résoudre l’équation (E) revient à résoudre fx=0.

Étape 2

f est une fonction polynôme donc f est continue sur , et en particulier sur [1 ; 2].

Pour montrer que f est strictement monotone, on commence par déterminer la dérivée de f. Étant une fonction polynôme, f est dérivable sur [1 ; 2] et, pour tout x de [1 ; 2], on a fx=3x2+2x1.

Le discriminant du polynôme du second degré ′(x) est 224×3×1=8. Il est négatif, donc ′(x) est toujours du signe du coefficient de x2 (a = −3), c’est-à-dire négatif. La fonction f est donc strictement décroissante sur [1 ; 2].

f1=1+11+2=1 et f2=8+42+2=4.

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Donc 0 est bien compris entre f1 et f(2).

D’après le théorème de la bijection, l’équation fx=0 admet une unique solution sur [1 ; 2].

À noter

On peut remarquer ici que f étant décroissante sur [1 ; 2], l’image par f de [1 ; 2] est f2;f1=4;1.