Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Soit $I$ un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur de $\mathbb{R}$

Intuitivement, une fonction continue sur $I$ est une fonction dont on peut représenter dans un repère du plan la courbe représentative sans lever le crayon.

Dans tout ce qui suit, $I$ est un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur. De plus, $a$ est une valeur de $I$.

Définition 1
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

Remarque importante :
Pour les fonctions définies de façon différente à gauche et à droite de $a$, on montre la continuité en calculant les limites à droite et à gauche de $a$.

Exemples :

1- La fonction $f:x\mapsto|x|$ est continue au point $0$, en effet :
$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}|x|=0=f(0)$

2- Étudions la continuité en $0$ de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\left\lbrace\begin{matrix} g(x)=\dfrac{1}{x+2} \text{ si }x\lt 0 \\ g(x)=\sqrt{x}+1 \text{ si } x\geq 0 \end{matrix} \right.$
On a :
$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{2}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}+1=1$
Il s'ensuit $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)$ et donc $g$ n'admet pas de limite au point $0$.
Ce qui implique que $g$ ne peut pas être continue en $0$.

Définition 2
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I$. On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$

Exemples (admis) :
Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée et les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont continues sur tout intervalle inclus dans leurs ensembles de définition respectifs.

Théorèmes (admis)
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ (respectivement sur $I$) :Si $\alpha$ est un réel, alors $\alpha f$ est continue en $a$ (respectivement sur $I$)$f+g$ est continue en $a$ (respectivement sur $I$)$f\times g$ est continue en $a$ (respectivement sur $I$)

Exemples :

1- La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= x^2+3x-5+\sin(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$ car elle est la somme des deux fonctions $x\mapsto x^2+3x-5$ et $x\mapsto \sin(x)$ continues sur $\mathbb{R}$.

2- La fonction $x\mapsto x\sqrt{x}$ est une fonction continue sur $]0;+\infty[$ comme produit des deux fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto\sqrt{x}$ continues sur cet intervalle.

Définition
La fonction partie entière est une fonction qui associe à chaque réel sa partie entière. On la note $x\mapsto \text{E}(x)$ ou $x\mapsto [x]$.
On sait que chaque réel $x$ peut être encadré par deux entiers relatifs consécutifs $n$ et $n+1$. La partie entière de $x$ n'est autre que l'entier relatif $n : \text{E}(x)=n \text{ avec } n\leq x\lt n+1$

Par exemple :
$\text{E}(1,456)=1 \text{ puisque } 1\leq 1,456\lt 2$
$\text{E}\left(\dfrac{7}{3}\right)=2 \text{ car } 2\leq\dfrac{7}{3}\approx 2,333\lt 3$
$\text{E}(-\sqrt{13})=-4 \text{ puisque } -4\leq -\sqrt{13}\approx-3,6\lt -3$

Représentation graphique de la fonction partie entière :

Propriété : La fonction partie entière n'est pas continue en chaque entier relatif $n\in\mathbb{Z}$.
Par contre, elle est continue sur tous les intervalles $]n,n+1[$

Composée de deux fonctions continues
Soit $f$ une fonction définie sur $I$, $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$ et $a$ un réel de $I$.

Exemple :
La fonction $x\mapsto \cos(x^2-3x+7)$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme composée des deux fonctions $x\mapsto \cos(x)$ et $x\mapsto x^2-3x+7$ continues sur $\mathbb{R}$.

1- Cas général :
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\lt b$ et soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.
Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=\lambda$ admet au moins une solution sur $[a,b]$.

2- Cas particulier des fonctions strictement monotones : (théorème dit de la bijection)
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\lt b$ et soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a,b]$.
Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=\lambda$ admet une solution unique sur $[a,b]$.

Remarque :
Dans le cas $\lambda=0$, on vérifie $f(a)f(b)\lt 0$.

Exemple :
Montrer que l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.
L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ est équivalente à $\dfrac{2x+3}{x+1}-x^2=0$.
On pose $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}-x^2$.
L'équation en question s'écrit $f(x)=0$.

Le domaine de définition de $f$ est : $\mathcal{D}_f=]-\infty;-1[\cup ]-1;+\infty[$
Or $[1;2]\subset ]-1;+\infty[$
Donc $f$ est définie et continue sur $[1;2]$ comme somme des deux fonctions $x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}$ et $x\mapsto -x^2$ continues sur $[1;2]$.

De plus : $f(1)=\dfrac{5}{2}-1=\dfrac{3}{2} \text{ et } f(2)=\dfrac{7}{3}-4=-\dfrac{5}{3}$
Alors : $f(1)f(2)\lt 0$

Et on conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[1;2]$.
Donc : l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.

Merci à Panter et à Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.