Les complexes et la trigonométrie

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Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(0\;; \vec u \;,\vec v)$

I. Les formules d'addition

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\circ\quad$ $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\circ\quad$ $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\circ\quad$ $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

$\circ\quad$ $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

Démonstration de la première formule :

Soient $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$ deux vecteurs

de norme 1 tels que : $\overrightarrow{w_1} = \begin{pmatrix} \cos a \ \sin a \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w_2} = \begin{pmatrix} \cos b \ \sin b \end{pmatrix}$

D’une part, $\overrightarrow{w_1} \cdot \overrightarrow{w_2} = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

D’autre part, $\overrightarrow{w_1} \cdot \overrightarrow{w_2} = |\overrightarrow{w_1}| \times |\overrightarrow{w_2}| \times \cos(\overrightarrow{w_1}, \overrightarrow{w_2})$.

Comme les vecteurs sont de norme 1, on a :

$\overrightarrow{w_1} \cdot \overrightarrow{w_2}= 1 \times 1 \times \cos(b - a)$
$= \cos(a - b)$.

Or, on sait que pour tout réel $t$,

$\cos t = \cos(-t)$.

Donc, $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

On en déduit :

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\circ ~$ $\small \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1$

$\circ ~$ $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$

II. Lien entre forme algébrique et argument

Théorème :

Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $z = a + \mathcal{i}b$ avec $a$ et $b$ deux réels.

Alors un argument de $z$ est un réel $\theta$ tel que :

$\cos \theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \dfrac{b}{|z|}$

Théorème :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument (modulo $2\pi$).

III. Forme trigonométrique d'un complexe non nul

Définition :

Tout nombre complexe $z$ non nul peut s’écrire sous la forme :

$z = r (\cos \theta + \mathcal{i} \sin \theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z) [2\pi]$.

Cette écriture est appelée forme trigonométrique de $z$.