Les coefficients binomiaux

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I. Définition

Pour $n$ et $k$ deux entiers naturels avec $0 \leq k \leq n$, le coefficient binomial $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$, qui se lit « $k$ parmi $n$ », est le nombre de façons d’obtenir $k$ succès dans un schéma de Bernoulli de taille $n$.
Par convention, $\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix} = 1$.

Exemple :
Dans un schéma de Bernoulli de taille $5$, il y a $\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$ façons d’obtenir $2$ succès.
Ainsi, $\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} = 10$.

II. Propriétés

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$, alors :

$\circ\quad$ Symétrie : $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ Valeurs particulières :
$\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} = 1$ ;
$\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix} = n$ ;
$\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix} = \dfrac{n(n-1)}{2}$

III. Exemples

$\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix} = 21$

$\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\7\end{pmatrix} = 120$

$\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix} = 8$

$\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} = \dfrac{8 \times 7}{2} = 28$