Les chiffres significatifs

I. Introduction : de l'importance de la notion de chiffres significatifs

• L'analyse de l'incertitude (ou anciennement la précision) et des erreurs liées à un mesurage d'une grandeur physique ou chimique est fondamentale.

• Par définition, le mesurage est l'ensemble des opérations ayant pour but de déterminer une valeur d'une grandeur. C'est une notion concrète qui se distingue de la mesure qui reste abstraite. On parlera ainsi de principe ou méthode de mesure mais du résultat d'un mesurage.

• Ainsi, l'incertitude avec laquelle on connaît la valeur d'une grandeur dépend du mesurage.

• En ce sens, le nombre de chiffres significatifs fournit une indication sur l'incertitude de la mesure d'une grandeur.

• C'est en quelque sorte une simplification de la notion d'incertitude de mesure : plutôt que de déterminer l'incertitude de la mesure d'une grandeur, on suppose intrinsèquement qu'elle est de l'ordre de grandeur de l'unité du premier chiffre incertain.

$\Rightarrow$ Le but de la présente fiche est de fournir une définition et des règles simples à appliquer pour les travaux pratiques (TP) ou les calculs effectués dans un exercice applicatif.

II. Définition et propriétés des chiffres significatifs

1. Notion de nombre de chiffres significatifs

• Définition :

  Les chiffres significatifs d'un nombre sont les chiffres écrits en partant de la gauche, à partir du premier chiffre différent de zéro.

• Exemples :

  $\circ\quad$ Le nombre $153$ possède $3$ chiffres significatifs ;

  $\circ\quad$ Le nombre $15,30$ possède $4$ chiffres significatifs ;

  $\circ\quad$ Le nombre $0,015$ possède $2$ chiffres significatifs.

2. Propriété : cas de l'écriture scientifique

• Propriété :

  Un nombre écrit en notation scientifique, sous la forme $a \cdot 10^n$, possède les mêmes chiffres significatifs que $a$.

• Exemple : le nombre $1,53.10^4$ possède $3$ chiffres significatifs.

• Propriété

  Pour arrondir un chiffre significatif de rang $n+1$ :

  $\circ\quad$ si le chiffre de rang $n+1$ est INFÉRIEUR à $5$, alors on ne change pas le chiffre de rang $n$ ;

  $\circ\quad$ si le chiffre de rang $n+1$ est SUPÉRIEUR ou ÉGAL à $5$, alors on prend pour le chiffre de rang $n$ l'entier supérieur.

• Exercice :

  $\circ\quad$ Avec combien de chiffres significatifs est donnée la vitesse de la lumière suivante : $299792458 ~ m.s^{-1}$ ?

  $\circ\quad$ Donner ensuite sa valeur avec $6$, $4$ puis $2$ chiffres significatifs.

• Solution :

  $\circ\quad$ Écrite sous la forme $299792458 ~ m.s^{-1}$, la vitesse de la lumière comporte $9$ chiffres significatifs.

  $\circ\quad$ Ensuite, elle s'écrit :

  $\longrightarrow$ $2,99792 \cdot 10^8 ~ m.s^{-1}$ avec $6$ chiffres significatifs ;

  $\longrightarrow$ $2,998 \cdot 10^8 ~ m.s^{-1}$ avec $4$ chiffres significatifs ;

  $\longrightarrow$ $3,0 \cdot 10^8 ~ m.s^{-1}$ avec $2$ chiffres significatifs.

III. Nombre de chiffres significatifs intervenant dans un calcul

1. Cas général

Dans un calcul, lors d'un TP ou dans un exercice applicatif, les données sont parfois fournies avec des nombres de chiffres significatifs différents.

• Règle générale :

  Quand une grandeur physique ou chimique est calculée à partir des valeurs d'autres grandeurs (intervenant dans la formule), elle sera écrite avec le plus petit nombre de chiffres significatifs présents parmi les valeurs utilisées.

• ATTENTION !

  Cette règle ne s'applique qu'au résultat final d'un calcul, jamais à un calcul intermédiaire où on garde toutes les décimales (pour ne pas cumuler des erreurs d'arrondis dans une suite de calculs).

2. Calcul faisant intervenir une addition ou une soustraction

• Règle 1 :

  Le résultat d'une grandeur calculée par le biais d'une addition ou d'une soustraction ne doit pas avoir plus de décimales que la grandeur qui en a le moins.

• Exemple :

  $\circ\quad$ Le périmètre d'un rectangle de dimensions $2,0 ~ m$ ($2$ chiffres significatifs) et $2,12 ~ m$ ($3$ chiffres significatifs) vaut :

  $P = 2\times(L + l) = 2\times(2,0 + 2,12) = 8,24 ~ m$

  $\circ\quad$ En vertu de la règle 1, ce périmètre s'écrira avec $2$ chiffres significatifs, soit :

  $\boxed{8,2 ~ m}$

  Toutefois, si le périmètre $P$ est réutilisé dans un autre calcul, il faudra bien faire attention d'utiliser la valeur $8,24$ pour ne pas cumuler d'erreurs.

3. Calcul faisant intervenir une multiplication ou une division

• Règle 2 :

  Le résultat d'une grandeur calculée par le biais d'une multiplication ou d'une division ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que la grandeur qui en a le moins.

• Exemple :

  $\circ\quad$ La surface d'un rectangle de dimensions $3,0 ~ mm$ ($2$ chiffres significatifs) et $2,12 ~ m$ ($3$ chiffres significatifs) vaut :

  $S = L \times l = 3,0 \times 2,12.10^3 = 6,36 \cdot 10^3 ~ mm^2$

  $\circ\quad$ En vertu de la règle 2, cette surface s'écrira avec $2$ chiffres significatifs, soit :

  $\boxed{6,4 \cdot 10^3 ~ mm^2}$

  Toutefois, si la surface $S$ est réutilisée dans un autre calcul, il faudra bien faire attention d'utiliser la valeur $6,36$ pour ne pas cumuler d'erreurs.

_{= Merci à gbm pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}