Le vocabulaire des probabilités

Prérequis :
Dans ce chapitre, nous ferons appel à des notions déjà vues en classe de troisième (ensembles, vocabulaire des probabilités).

Enjeu :
L'objectif est de maîtriser le vocabulaire des probabilités et de savoir raisonner à l’aide de représentations ensemblistes (diagrammes de Venn, notation d’ensembles) pour analyser des situations aléatoires simples.

I. Vocabulaire fondamental

On appelle expérience aléatoire toute expérience que l'on peut répéter dans les mêmes conditions, dont on connaît tous les résultats possibles, mais sans pouvoir prévoir lequel se réalisera.

Exemples d’expériences aléatoires :

• Lancer une pièce

• Lancer un dé

• Tirer une boule dans une urne

Les résultats possibles sont appelés issues ou éventualités, et l’ensemble de toutes les issues forme l’univers, noté $U$ ou $\Omega$.

Exemple :
Pour un lancer de dé à 6 faces :
$\Omega = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$

Un événement est un sous-ensemble de l’univers. Il peut contenir une ou plusieurs issues.

Exemple :
A = « obtenir un nombre pair » → $A = \{2,\ 4,\ 6\}$

Cas particuliers :

• Un événement est certain s’il se réalise à chaque fois → il correspond à $\Omega$

• Un événement est impossible s’il ne peut jamais se réaliser → il correspond à l’ensemble vide $\emptyset$

Exemple :
Dans le cadre du lancer de dé :

• « Obtenir un nombre inférieur à 10 » est certain

• « Obtenir un nombre négatif » est impossible

II. Opérations sur les événements

Soit deux événements $A$ et $B$ définis dans un univers $\Omega$.

• Union ($A \cup B$) :
  L’événement $A \cup B$ est l’ensemble des issues appartenant à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).
  C’est l’ensemble des issues réalisant au moins l’un des deux événements.

• Intersection ($A \cap B$) :
  L’événement $A \cap B$ est l’ensemble des issues appartenant à la fois à $A$ et à $B$.
  Ce sont les issues communes aux deux événements.

• Événements disjoints ou incompatibles :
  Si $A \cap B = \emptyset$, alors $A$ et $B$ ne peuvent pas se réaliser ensemble. On dit qu’ils sont incompatibles.

• Événement contraire ($\overline{A}$) :
  C’est l’ensemble des issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$.
  On dit que $\overline{A}$ est le complementaire de $A$ dans $\Omega$.