Image formée par une lentille convergente

REMARQUE IMPORTANTE : dans l'ensemble de la fiche, on considérera que les distances sont positives vers "le haut" et vers "la droite".

I. Généralités sur les lentilles minces

1. Définitions

• Une lentille est un milieu transparent, limité par deux surfaces sphériques ou une surface sphérique et un plan.

• $D$ désigne le diamètre d'ouverture et $e$ l'épaisseur de la lentille.

• Une lentille est dite mince si son épaisseur au centre est petite devant son diamètre d'ouverture $D$.

2. Présentation des deux types de lentilles minces

• Il existe deux types de lentilles minces différentiables au toucher ou par le biais de méthodes expérimentales que nous n'étudierons pas ici (hors programme) :

  $\circ\quad$ Les lentilles convergentes à bords minces que l'on schématise ainsi :

  

  $\circ\quad$ Et ayant pour symbole :

  

  De gauche à droite on retrouve une lentille plan convexe, une lentille biconvexe et une lentille à ménisque convergent.

  $\circ\quad$ les lentilles divergentes à bords épais que l'on schématisera de cette manière :

  

  $\circ\quad$ et se symbolisant par :

  

  Ici, de gauche à droite, on a : une lentille plan concave, une lentille biconcave et une lentille à ménisque divergent.

II. Caractéristiques des lentilles minces convergentes

1. Schématisation et centre optique

• Si la lentille est suffisamment mince, on peut négliger sa partie centrale et elle se réduit donc en un point : le centre optique ($O$).

• Propriété :

  Tout rayon passant par le centre optique $O$ d'une lentille n'est pas dévié.

2. Les axes optiques

• L'axe principal (ou abusivement axe optique, dénomination utilisée par la suite) est la droite perpendiculaire à l'axe de la lentille et passant par le centre optique $O$.

• Les axes secondaires sont toutes les autres droites passant par le centre optique $O$.

3. Foyer image et foyer objet

$\textcolor{purple}{\text{a. Foyer objet F de la lentille convergente}}$

• Définition :

  $\circ\quad$ Un faisceau de rayons incidents issus du foyer principal objet $F$, situé sur l'axe optique, symétrique de $F'$ par rapport à $O$, émerge parallèlement à l'axe optique.

  $\circ\quad$ Le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par $F$ est appelé plan focal objet.

  $\circ\quad$ Tout rayon incident issu d'un point $F_1$ du plan focal objet ($F_1$ désignant donc un foyer secondaire objet) émerge parallèlement à l'axe secondaire $F_1O$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Foyer image F' de la lentille convergente}}$

• Définition :

  $\circ\quad$ Tout rayon incident, parallèle à l'axe optique converge en un point $F'$, point remarquable de la lentille, constituant le foyer principal image de la lentille.

  $\circ\quad$ Le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par $F'$ est appelé plan focal image.

• Remarque : les foyers $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport au centre optique.

4. Distances focales

• Définition :

  $\circ\quad$ On appelle distance focale objet la grandeur $f = \overline{OF}$ ($f \lt 0$ pour une lentille convergente et $|f| = f'$).

  $\circ\quad$ On nomme distance focale image (utilisée en pratique) la grandeur $f' = \overline{OF'}$ mesurée sur l'axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière ($f' \gt 0$ pour une lentille convergente).

5. Vergence d'une lentille convergente

• Définition :

• On appelle vergence $C$ d'une lentille l'inverse de sa distance focale image :

  $\boxed{C = \dfrac{1}{f'}}$

  où $C \gt 0$.

• La vergence s'exprime en dioptries (symbole $\delta$).

• Remarque : la distance focale image doit être exprimée en mètres.

III. Image formée par une lentille convergente

1. Objets et images réels et virtuels : définitions

• On appelle objet (ponctuel) le point d'intersection des rayons incidents au système optique. Celui-ci est réel si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (la source peut être "touchée"). Un objet réel est situé à gauche de la lentille.

• Un objet est virtuel si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel. Un objet virtuel est situé à droite de la lentille.

• L'image d'un objet par une lentille est l'intersection des rayons qui parviennent sur le système optique.

• Une image est réelle si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (elle peut être recueillie sur un récepteur). Une image réelle est située à droite de la lentille.

• Une image est virtuelle si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel. Une image virtuelle est située à gauche de la lentille.

2. Schématisation de quelques situations

$\textcolor{purple}{\text{a. Objet réel / image réelle}}$

Ou encore si on prend un objet modélisé par les points $A$ et $B$ ($A$ étant situé sur l'axe optique et $B$ ne l'étant pas) :

$\textcolor{purple}{\text{b. Objet virtuel / image réelle}}$

• Dans cette situation :

  $\circ\quad$ $S$ est l'objet pour $L_1$ ;

  $\circ\quad$ $I'$ est l'image pour $L_1$ ;

  $\circ\quad$ $I'$ est l'objet pour $L_2$ ;

  $\circ\quad$ $I$ est l'image pour $L_2$.

• On imagine qu'on rapproche $L_2$ de $L_1$ de telle sorte que $I'$ se forme après $L_2$ :

  $\circ\quad$ $I'$ est alors un objet virtuel pour $L_2$.

$\textcolor{purple}{\text{c. Image d'un objet situé en avant de F}}$

• L'image $A'B'$ obtenue est renversée (de sens contraire à l'objet), plus grande ou plus petite que l'objet.

• On peut l'observer en plaçant un écran dans son plan focal image.

$\textcolor{purple}{\text{d. Image d'un objet situé entre O et F}}$

• Le point $B'$ est à l'intersection des prolongements des rayons émergents.

• L'image est droite (de même sens que l'objet), toujours plus grande que l'objet. Elle ne peut être vue que par un observateur placé derrière la lentille.

IV. Relations de conjugaison et grandissement

1. Propriétés générales des systèmes centrés : stigmatisme et aplanétisme

• Un système est dit centré s'il possède un axe de symétrie.

$\textcolor{purple}{\text{a. Stigmatisme et aplanétisme}}$

• Un système centré est stigmatique si l'image d'un objet ponctuel est elle-même ponctuelle.

• Un système centré est aplanétique si l'image d'un objet plan et perpendiculaire à l'axe optique est elle-même plane et perpendiculaire à l'axe optique.

$\textcolor{purple}{\text{b. Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss}}$

• Les lentilles sont des systèmes non rigoureusement stigmatiques. Néanmoins les lentilles réalisent un stigmatisme approché dans les conditions de Gauss.

• Conditions de Gauss :

  Elles sont obtenues lorsque les rayons incidents sont peu inclinés sur l'axe et peu écartés de celui-ci.

• Remarques :

  $\circ\quad$ Les écarts à ces conditions sont appelés aberrations géométriques ;

  $\circ\quad$ Conséquences mathématiques : $\cos \alpha \approx 1$, $\sin \alpha \approx \alpha$, $\tan \alpha \approx \alpha$.

2. Constructions géométriques

• Construction de l'image de $AB$ :

• On utilise les propriétés de trois rayons particuliers :

  $\circ\quad$ Le rayon qui passe par le centre optique de la lentille n'est pas dévié (ici le rayon rouge) ;

  $\circ\quad$ Le rayon issu de $B$ et parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image $F'$ (ici le rayon vert) ;

  $\circ\quad$ Le rayon issu de $B$ et passant par $F$, émerge parallèlement à l'axe optique (ici le rayon bleu).

• Remarque : deux rayons suffisent pour établir la position d'un objet ou d'une image. Néanmoins, le tracé du troisième rayon peut permettre d'effectuer une vérification simple de la justesse du raisonnement.

3. Grandissement $\gamma$

• On considère le même schéma que précédemment.

• Définition :

  Le grandissement a pour expression :

  $\boxed{\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}}$

• Le grandissement est une grandeur sans dimension et une grandeur algébrique :

  $\circ\quad$ Si $\gamma \gt 0$, l'image est droite ;

  $\circ\quad$ Si $\gamma \lt 0$, l'image est renversée.

• Pratiquement, on utilise davantage la relation suivante :

  $\boxed{\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}}$

  (qu'on démontre grâce au théorème de Thalès)

4. Formules de conjugaison

• Ces formules donnent la relation entre la position de l'image et celle de l'objet :

• Formule (ou relation) de conjugaison :

  $\circ\quad$ La formule (ou relation) de conjugaison avec origine au sommet (ou centre) $O$, dite de Descartes, a pour expression :

  $\boxed{\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OF'}}}$

  $\circ\quad$ On retrouve également cette relation sous la forme $\dfrac{1}{p'} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{f'}$ en posant $\overline{OA} = p$, $\overline{OA'} = p'$ et $\overline{OF'} = f'$

• Une autre variante de ces formules de conjugaison est la formule de Newton, appelée également "formule de conjugaison avec origine aux foyers" :

  $\boxed{\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -f'^2}$

• Démonstration à partir du grandissement :

  $\circ\quad$ $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}}$ (qu'on démontre grâce au théorème de Thalès) ;

  $\circ\quad$ D'après la dernière égalité, on retrouve donc :

  $\overline{F'O} \times \overline{OA} + \overline{OA'} \times \overline{OA} = \overline{OA'} \times \overline{F'O}$

  et $(\overline{OA'} - \overline{OA}) \times \overline{OF'} = \overline{OA'} \times \overline{OA}$

  $\circ\quad$ Ce qui permet de remonter à la relation suivante : $\dfrac{\overline{OA'} - \overline{OA}}{\overline{OA'} \times \overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OF'}}$ et donc d'obtenir la forme de la formule de conjugaison donnée plus haut : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OF'}}$

• Attention : cette relation s'applique à la figure donnée dans ce paragraphe (il est possible d'obtenir un signe "$+$" dans certains cas). Ne pas hésiter à refaire cette démonstration afin de la comprendre et de retrouver aisément la formule dans tous les cas de figure.

_{= Merci à shadowmiko / doudou87 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}