Plutôt que d’effectuer de longs calculs de taux de variation, il est plus utile de connaître les fonctions dérivées des principales fonctions usuelles. Prudence toutefois, ce n’est pas parce qu’une fonction est définie sur un intervalle, qu’elle y est dérivable.
I) Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I.
La fonction dérivée de f est notée f ′. C’est la fonction qui, à tout élément a de I, associe le nombre dérivé f ′(a) notée f ′ : a ↦ f ′(a).
II) Dérivée des fonctions usuelles
1) Tableau des dérivées
Dans le tableau ci-dessous, f désigne une fonction et f ′ sa dérivée. I est l’intervalle sur lequel f est dérivable.
À noter
• La fonction inverse n’est pas dérivable en zéro.
• La fonction racine carré n’est pas dérivable en 0.
2) Calculs des nombres dérivés
Ce tableau permet de déterminer des nombres dérivés sans revenir à la définition. En effet, pour calculer un nombre dérivé en x0 il suffit de déterminer la fonction dérivée et de remplacer, dans l’expression de cette fonction, x par x0.
Exemple : Pour déterminer le nombre dérivé en 2 de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x2 + 1 on détermine la fonction dérivée f ′ de f et on calcule f ′(2) :
f ′(x) = 2x, donc le nombre dérivé de f en 2 est f ′(2) = 2 × 2 = 4.
Méthode
1) Déterminer l’équation réduite d’une tangente
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1.
Conseil
On commence par calculer son coefficient directeur c’est-à-dire f ′(1), puis on applique la formule donnant l’équation d’une tangente.
Solution
Déterminons le coefficient directeur de cette tangente c’est-à-dire le nombre dérivé de f en 1 soit f ′(1).
La fonction dérivée de f est f ′(x) = 2x, on a donc f ′(1) = 2 × 1 = 2.
L’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1 est donc y = f ′(1)(x – 1) + f(1), soit y = 2(x – 1) + 1 ou encore y = 2x – 1.
2) Étudier la dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = |x|. Étudier la dérivabilité de f en 0.
Conseil
On étudie la limite du taux de variation de f en 0 lorsque h tend vers 0.
Solution
Pour tout réel h non nul, le taux de variation en 0 est donné, par :
f(0+h)–f(0)h =|h|h={1, si h>0–1, si h<0.
Donc f(0+h)–f(0)h tend vers 1 lorsque h tend vers 0 avec h > 0 et tend vers –1 lorsque h tend vers 0 avec h < 0
Le taux de variation de f entre 0 et 0 + h n’a donc pas de limite lorsque h tend vers 0. La fonction valeur absolue n’est donc pas dérivable en 0.