Évolution temporelle dans un circuit : décharge d'un dipôle RC

I. Décharge d'un condensateur

$\bullet\quad$On réalise le circuit $RC$ suivant :

$\bullet\quad$Le condensateur étant initialement chargé, on peut le décharger dans une résistance en fermant l'interrupteur. On cherche l'équation différentielle qui régit la tension aux bornes du condensateur durant la décharge.

1. Mise en équation

$\bullet\quad$État initial : à $t = 0$, le condensateur est chargé ($U_c(0) = E$) et on ferme l'interrupteur $K$.

$\bullet\quad$On utilise la même méthode que pour l'étude de la charge du condensateur dans la leçon précédente :

$\bullet\quad$D'après la loi des mailles, on a la relation (1) : $U_c + U_R = 0$.

$\bullet\quad$On sait que $U_R = R \times i$ (loi d'Ohm) et que $i = \dfrac{dq}{dt}$.

$\bullet\quad$Donc $U_R = R \times \dfrac{dq}{dt}$.

$\bullet\quad$De plus, on a la relation : $q = C \times U_c$.

$\bullet\quad$Donc $U_R = R \times \dfrac{d(C \times U_c)}{dt}$

$\Longleftrightarrow U_R = R \times C \times \dfrac{dU_c}{dt}$ car $C$ est une constante.

$\bullet\quad$En reportant dans (1), on a trouve : $R \times C \times \dfrac{dU_c}{dt} + U_c = 0$.

$\bullet\quad$Puis, en divisant le tout par $R \times C$, on obtient finalement l'équation différentielle

$\boxed{\dfrac{dU_c}{dt} + \dfrac{U_c}{R \times C} = 0}$

2. Solution de l'équation différentielle

$\bullet\quad$L'équation peut s'écrire sous la forme générale :

$\boxed{\dfrac{d U_c}{dt} + \dfrac{ U_c}{\tau} = 0}$

$\text{ (en posant } \tau = R \times C = \text{constante})$

$\bullet\quad$La constante $\tau$ s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système car nous allons voir que la décharge est terminée (à 1 % près) au bout d'une durée de $5 \tau$.

$\bullet\quad$Nous admettons que la solution générale de cette équation est de la forme :

$\boxed{ U_c(t) = K \cdot e^{\frac{-t}{\tau}} }$, où $K$ est une constante

$\quad\circ\quad$ $K$ est déterminé par la condition initiale : $U_c(0) = E$ (car le condensateur est chargé à l'instant $t = 0$).

$\quad\circ\quad$ On en déduit que $E = K \cdot e^0 = K$ donc $K = E$.

$\bullet\quad$La solution de cette équation est donc : $\boxed{U_c(t) = E \cdot e^{\frac{-t}{R \times C}}}$.

3. Calcul de l'intensité dans le circuit

$\bullet\quad$On a la relation $i = \dfrac{dq}{dt}$, soit $i = C \cdot \dfrac{dU_c}{dt}$ (car $q = C \times U_c$).

$\bullet\quad$En remplaçant $U_c$ par son expression, on trouve : $\boxed{i(t) = \dfrac{-E}{R} \cdot e^{\frac{-t}{R \cdot C}}}$.

II. Interprétation graphique de la décharge d'un condensateur dans un dipôle $RC$

$\bullet\quad$Lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé :

$\quad\circ\quad$ La tension aux bornes du condensateur est donnée par :

$\boxed{U_c(t) = E \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}}$

$\quad\circ\quad$ L'intensité dans le circuit vaut :

$\boxed{i(t) = \dfrac{-E}{R} \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}}$

$\bullet\quad$Représentation graphique de la tension $U_c(t)$ :

$\bullet\quad$Interprétation :

$\quad\circ\quad$ La constante de temps $\tau$ du circuit $RC$ caractérise la vitesse de la décharge du condensateur.

$\quad\circ\quad$ Il y a 3 méthodes pour la trouver :

$\textcolor{purple}{\text{1.}}$ On utilise la relation $\tau = R \cdot C$.

$\textcolor{purple}{\text{2.}}$ On trace la tangente à l'origine (en rouge sur le graphique). $\tau$ est l'abscisse de l'intersection de la tangente et de l'axe des abscisses.

$\textcolor{purple}{\text{3.}}$ Pendant la décharge, on a : $U_c(t) = E \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}$.

Pour $t = \tau$, on a donc : $U_c(\tau) = E \cdot e^{-1} = 0,37 ~ E$ (rappel : $e \approx 2,718$).

Lorsque $t = \tau$, la tension du condensateur a atteint $37\%$ de la tension initiale ($E$).

$\bullet\quad$Temps de décharge :

$\quad\circ\quad$ L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe, donc $U_c(t)$ ne s'annule jamais.

$\quad\circ\quad$ Toutefois, pour $t = 5 ~ \tau$, on a : $U_c(5 ~ \tau) = E \cdot e^{-5} = 0,007 ~ E \approx 0$.

$\quad\circ\quad$ Au bout d'une durée égale à $5 ~ \tau$, on estime que la décharge est terminée (car la tension aux bornes du condensateur a diminué de plus de $99\%$).

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION !}}$ La constante de temps ($\tau = R \cdot C$) n'est pas le temps de décharge ($= 5 ~ \tau$) !

$\bullet\quad$Représentation graphique de l'intensité $i(t)$ :

$\quad\circ\quad$ On peut remarquer une nouvelle fois la discontinuité de l'intensité à l'instant $t = 0$.

_{= Merci à krinn et Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}