Evolution temporelle dans un circuit : charge d'un dipôle RC

I. Notion d'échelon de tension

Définition :

On parle d'échelon de tension lorsque la tension passe instantanément de $0$ à une valeur constante non nulle (par exemple $30~V$).

II. Charge d'un condensateur

$\bullet\quad$On réalise le circuit $RC$ suivant :

$\bullet\quad$On cherche la réponse du dipôle $RC$ à un échelon de tension, c'est-à-dire l'équation différentielle qui régit la tension aux bornes du condensateur lorsqu'on ferme l'interrupteur.

1. Mise en équation

$\bullet\quad$État initial : à $t = 0$, le condensateur est déchargé ($U_c = 0$) et on ferme l'interrupteur $K$.

$\bullet\quad$D'après la loi des mailles, on a la relation $\textcolor{purple}{\text{(1)}}$ : $U_c + U_R = E$.

$\bullet\quad$On sait que $U_R = R \times i$ (loi d'Ohm) et que $i = \dfrac{dq}{dt}$.

$\bullet\quad$Donc $U_R = R \times \dfrac{dq}{dt}$.

$\bullet\quad$De plus, on a la relation : $q = C \times U_c$.

$\bullet\quad$Donc $U_R = R \times \dfrac{d(C \times U_c)}{dt}$

$\Longleftrightarrow U_R = R \times C \times \dfrac{dU_c}{dt}$ car $C$ est une constante.

$\bullet\quad$En reportant dans $\textcolor{purple}{\text{(1)}}$, on trouve : $R \times C \times \dfrac{dU_c}{dt} + U_c = E$.

$\bullet\quad$Puis, en divisant le tout par $R \times C$, on obtient finalement l'équation différentielle :

$\boxed{\dfrac{dU_c}{dt} + \dfrac{U_c}{R \times C} = \dfrac{E}{R \times C}}$

2. Solution de l'équation différentielle

$\bullet\quad$L'équation peut s'écrire sous la forme générale :

$\boxed{\dfrac{d U_c}{dt} + \dfrac{ U_c}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}}$

$\text{ (en posant } \tau = R \times C = \text{constante})$

$\bullet\quad$La constante $\tau$ s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système car nous allons voir que la charge est terminée (à $1\%$ près) au bout d'une durée de $5 \tau$.

$\bullet\quad$Nous admettons que la solution générale de cette équation est de la forme :

$\boxed{ U_c(t) = E + K \; e^{\frac{-t}{\tau}} }$, où $K$ est une constante

$\quad\circ\quad$ $K$ est déterminé par la condition initiale : $U_c(0) = 0$ (car le condensateur est déchargé à l'instant $t = 0$).

$\quad\circ\quad$ On en déduit que $0 = E + K \cdot e^0 = E + K$ donc $K = -E$.

$\bullet\quad$La solution de cette équation différentielle est donc :

$\boxed{U_c(t) = E\left(1-e^{\frac{-t}{R \cdot C}}\right)}$

Vérification :

$\quad\circ\quad$ $\dfrac{dU_c}{dt} = 0\times (1-e^{\frac{-t}{R \cdot C}})+E\times \dfrac{1}{R \cdot C}e^{\frac{-t}{R \cdot C}}$ $\Longleftrightarrow \dfrac{dU_c}{dt} = \dfrac{E}{R \cdot C}e^{\frac{-t}{R \cdot C}}$

$\quad\circ\quad$ $\small \dfrac{dUc}{dt} + \dfrac{U_c}{R \cdot C} = \dfrac{E}{R \cdot C}\cdot e^{\frac{-t}{RC}} + \dfrac{E}{R \cdot C} - \dfrac{E}{R \cdot C} \cdot e^{\frac{-t}{R \cdot C}}$

$\phantom{\quad\circ\quad}$ $\small \dfrac{dUc}{dt} + \dfrac{U_c}{R \cdot C}= \dfrac{E}{R \cdot C}$

$\quad\circ\quad$ L'équation différentielle est donc bien vérifiée.

3. Calcul de l'intensité dans le circuit

$\bullet\quad$On a la relation $i = \dfrac{dq}{dt}$ ou encore : $i = C \cdot \dfrac{dU_c}{dt}$ (car $q = C \times U_c$).

$\bullet\quad$En remplaçant $U_c$ par son expression, on trouve : $\boxed{i(t) = \dfrac{E}{R} \cdot e^{\frac{-t}{R \cdot C}}}$.

III. Interprétation graphique de la charge d'un condensateur dans un dipôle $RC$

$\bullet\quad$Lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé :

$\quad\circ\quad$ La tension aux bornes du condensateur est donnée par :

$\boxed{U_c(t) = E \left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)}$

$\quad\circ\quad$ L'intensité dans le circuit vaut :

$\boxed{i(t) = \dfrac{E}{R} \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}}$

(où $E$ est la tension fournie par le générateur)

$\bullet\quad$Représentation graphique de la tension $U_c(t)$ :

$\bullet\quad$Interprétation

$\quad\circ\quad$ La constante de temps $\tau$ du circuit $RC$ caractérise la vitesse de la charge du condensateur.

$\quad\circ\quad$ Il y a 3 méthodes pour la trouver :

$\textcolor{purple}{\text{1.}}$ On utilise la relation $\tau = R \cdot C$.

$\textcolor{purple}{\text{2.}}$ On trace la tangente à l'origine (en rouge sur le graphique). $\tau$ est l'abscisse de l'intersection de la tangente et de la droite $E$.

$\textcolor{purple}{\text{3.}}$ Pendant la charge, nous savons que : $U_c(t) = E \left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)$.

Pour $t = \tau$, on a donc : $U_c(\tau) = E \left(1-e^{-1}\right) = 0,63 ~ E$ (rappel : $e \approx 2,718$).

Lorsque $t = \tau$, la tension du condensateur a atteint $63\%$ de la tension du générateur ($E$).

$\bullet\quad$Temps de charge :

$\quad\circ\quad$ La droite $E$ est asymptote horizontale à la courbe, donc $U_c(t)$ n'atteint jamais la valeur $E$.

$\quad\circ\quad$ Toutefois, pour $t = 5 ~ \tau$, on a : $U_c(5 ~ \tau) = E \left(1-e^{-5}\right) = 0,993 ~ E \approx E$.

$\quad\circ\quad$ Au bout d'une durée égale à $5 \tau$, on estime que la charge est terminée (car la tension du condensateur a atteint son maximum $E$ à moins de $1\%$ près).

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION !}}$ La constante de temps ($\tau = R \cdot C$) n'est pas le temps de charge ($= 5 ~ \tau$) !

$\bullet\quad$Représentation graphique de l'intensité $i(t)$ :

$\quad\circ\quad$ On peut remarquer une discontinuité de l'intensité lors de la fermeture de l'interrupteur (à $t = 0$).

_{= Merci à krinn et Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}