Évolution de la température d'un système incompressible

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I. Évolution de la température d'un système incompressible

1. Loi phénoménologique de Newton

  • Considérons un système fermé incompressible, de température uniforme TT, en contact avec un fluide extérieur sur une surface SS:

  • picture-in-textLe fluide est supposé avoir une température TextT_{\text{ext}} constante (par exemple l'air ambiant à 20oC20^oC).

  • Si le système échange uniquement de l'énergie thermique avec l'extérieur (et donc aucun travail n'est effectué), le premier principe de la thermodynamique s'écrit :

    ΔU=Q=Φ×Δt\Delta U = Q = \Phi \times \Delta t (car W=0W = 0)

    ou encore :

ΔUΔt=Φ\dfrac{\Delta U}{\Delta t} = \Phi

  • Pour un système fermé incompressible, on sait que :

    dUdt=m×c×dTdt\dfrac{dU}{dt} = m \times c \times \dfrac{dT}{dt}

    et que le flux thermique de convection a pour expression :

    Φ=h×S×(TextT)\Phi = h \times S \times (T_{\text{ext}} - T)

En substituant ces expressions, on obtient :

m×c×dTdt=h×S×(TextT)\boxed{m \times c \times \dfrac{dT}{dt} = h \times S \times (T_{\text{ext}} - T)}

ou encore :

dTdt=k×(TextT)\boxed{\dfrac{dT}{dt} = k \times (T_{\text{ext}} - T)}, avec k=h×Sm×c\boxed{k = \dfrac{h \times S}{m \times c}}

  • Cette loi phénoménologique, déjà énoncée par Isaac Newton, stipule que la variation de température d'un système au cours du temps dTdt\dfrac{dT}{dt} est proportionnelle à la différence de température entre ce système et le milieu environnant. Elle n'est valable que pour un système fermé incompressible et à certaines conditions (voir ci-dessus).

2. Résolution de l'équation différentielle

  • La loi phénoménologique de Newton est une équation différentielle pouvant se mettre sous la forme :

dTdt+Tτ=Textτ\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{T}{\tau} = \dfrac{T_{\text{ext}}}{\tau}, avec τ=1k=m×ch×S\tau = \dfrac{1}{k} = \dfrac{m \times c}{h \times S}

  • La constante τ\tau s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système, car on observe que le système atteint la température extérieure à 1%1\% près au bout d'une durée de 5τ5 \tau.

  • La solution générale de cette équation est de la forme :

T(t)=K×exp(tτ)+TextT(t) = K \times \exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right) + T_{\text{ext}}, où KK est une constante

  • Si le système a la température initiale TiT_i à l'instant t=0t = 0, on en déduit que Ti=K×exp(0)+TextT_i = K \times \exp(0) + T_{\text{ext}}, donc K=TiTextK = T_i - T_{\text{ext}}.

  • La température TT du système en fonction du temps tt a donc pour expression finale :

T(t)=Text+(TiText)×exp(tτ)\boxed{T(t) = T_{\text{ext}} + (T_i - T_{\text{ext}}) \times \exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}

3. Évolution de la température

La courbe suivante est une représentation graphique de la fonction T(t)T(t) lorsque Ti>TextT_i \gt T_{ext} (donc le système se refroidit au contact du milieu extérieur).

picture-in-textOn remarque que la fonction décroît sans jamais atteindre TextT_{ext}. Elle se rapproche beaucoup de son asymptote au bout d'une durée de 5τ5 \tau, qui est la durée au-delà de laquelle on estime que la température TextT_{ext} est atteinte (à 1%1\% près).

II. Application

1. Énoncé du problème

  • Considérons une maison dont les murs d'épaisseur ee sont en béton et ont une surface intérieure totale SS. Le système étudié est l'air contenu dans la maison.

  • Cherchons la puissance de chauffage PP nécessaire à maintenir l'air intérieur à la température TiT_i, si l'air extérieur a pour température Text<TiT_{ext} \lt T_i.

2. Méthode de résolution

  1. On applique tout d'abord le premier principe de la thermodynamique :

    ΔU=W+Q\Delta U = W + Q

    Comme l'air ne change pas de volume, W=0W = 0 donc ΔU=Q\Delta U = Q.

  2. L'air étant considéré comme un gaz parfait, on a de plus la relation :
    ΔU=m×cv×ΔT=0\Delta U = m \times c_v \times \Delta T = 0, puisqu'on veut que l'air garde la même température (ΔT=0\Delta T = 0).

  3. On en déduit :

    Q=ΔU=0Q = \Delta U = 0, la somme des transferts thermiques est donc nulle.

  4. L'air intérieur reçoit d'un côté une puissance thermique de chauffage (P>0P \gt 0) et cède à travers les murs un flux thermique de conduction (Φ<0\Phi \lt 0).

    On en déduit que, sur une durée Δt\Delta t :

    Q=(P+Φ)×Δt=0Q = (P + \Phi) \times \Delta t = 0

    donc P+Φ=0P + \Phi = 0
    ou encore P=ΦP = -\Phi

  5. Enfin, le flux de conduction :

    Φ=TextTiRth\Phi = \dfrac{T_{\text{ext}} - T_i}{R_{\text{th}}}, où RthR_{\text{th}} est la résistance thermique des murs et vaut :

    Rth=eλbeˊton×SR_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda_{\text{béton}} \times S}

    On en déduit la puissance de chauffage :

    P=Φ=(TiText)×λbeˊton×SeP = -\Phi = (T_i - T_{\text{ext}}) \times \dfrac{\lambda_{\text{béton}} \times S}{e}

Application numérique :

Pour :

  • e=30 cme = 30~cm,

  • S=100 m2S = 100~m^2,

  • Ti=20CT_i = 20^\circ C,

  • Text=5CT_{\text{ext}} = 5^\circ C,

  • et λbeˊton=0.92 W.m1.K1\lambda_{\text{béton}} = 0.92~ W.m^{-1}.K^{-1} :

P=(205)×0.92×1000.30=4600 WP = \dfrac{(20 - 5) \times 0.92 \times 100}{0.30} = 4600 ~ W

Remarque :
PP est largement sous-évaluée, car il faut aussi tenir compte des pertes thermiques par le sol, par le toit et par les ouvertures (portes, fenêtres).

= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =