Évolution de la température d'un système incompressible

I. Évolution de la température d'un système incompressible

1. Loi phénoménologique de Newton

$\bullet\quad$Considérons un système fermé incompressible, de température uniforme $T$, en contact avec un fluide extérieur sur une surface $S$:

$\bullet\quad$Le fluide est supposé avoir une température $T_{\text{ext}}$ constante (par exemple l'air ambiant à $20^oC$).

$\bullet\quad$Si le système échange uniquement de l'énergie thermique avec l'extérieur (et donc aucun travail n'est effectué), le premier principe de la thermodynamique s'écrit :

$\Delta U = Q = \Phi \times \Delta t$ (car $W = 0$)

ou encore :

$\dfrac{\Delta U}{\Delta t} = \Phi$

$\bullet\quad$Pour un système fermé incompressible, on sait que :

$\dfrac{dU}{dt} = m \times c \times \dfrac{dT}{dt}$

et que le flux thermique de convection a pour expression :

$\Phi = h \times S \times (T_{\text{ext}} - T)$

En substituant ces expressions, on obtient :

$\boxed{m \times c \times \dfrac{dT}{dt} = h \times S \times (T_{\text{ext}} - T)}$

ou encore :

$\boxed{\dfrac{dT}{dt} = k \times (T_{\text{ext}} - T)}$, avec $\boxed{k = \dfrac{h \times S}{m \times c}}$

$\bullet\quad$Cette loi phénoménologique, déjà énoncée par Isaac Newton, stipule que la variation de température d'un système au cours du temps $\dfrac{dT}{dt}$ est proportionnelle à la différence de température entre ce système et le milieu environnant. Elle n'est valable que pour un système fermé incompressible et à certaines conditions (voir ci-dessus).

2. Résolution de l'équation différentielle

$\bullet\quad$La loi phénoménologique de Newton est une équation différentielle pouvant se mettre sous la forme :

$\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{T}{\tau} = \dfrac{T_{\text{ext}}}{\tau}$, avec $\tau = \dfrac{1}{k} = \dfrac{m \times c}{h \times S}$

$\bullet\quad$La constante $\tau$ s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système, car on observe que le système atteint la température extérieure à $1\%$ près au bout d'une durée de $5 \tau$.

$\bullet\quad$La solution générale de cette équation est de la forme :

$T(t) = K \times \exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right) + T_{\text{ext}}$, où $K$ est une constante

$\bullet\quad$Si le système a la température initiale $T_i$ à l'instant $t = 0$, on en déduit que $T_i = K \times \exp(0) + T_{\text{ext}}$, donc $K = T_i - T_{\text{ext}}$.

$\bullet\quad$La température $T$ du système en fonction du temps $t$ a donc pour expression finale :

$\boxed{T(t) = T_{\text{ext}} + (T_i - T_{\text{ext}}) \times \exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

3. Évolution de la température

La courbe suivante est une représentation graphique de la fonction $T(t)$ lorsque $T_i \gt T_{ext}$ (donc le système se refroidit au contact du milieu extérieur).

On remarque que la fonction décroît sans jamais atteindre $T_{ext}$. Elle se rapproche beaucoup de son asymptote au bout d'une durée de $5 \tau$, qui est la durée au-delà de laquelle on estime que la température $T_{ext}$ est atteinte (à $1\%$ près).

II. Application

1. Énoncé du problème

$\bullet\quad$Considérons une maison dont les murs d'épaisseur $e$ sont en béton et ont une surface intérieure totale $S$. Le système étudié est l'air contenu dans la maison.

$\bullet\quad$Cherchons la puissance de chauffage $P$ nécessaire à maintenir l'air intérieur à la température $T_i$, si l'air extérieur a pour température $T_{ext} \lt T_i$.

2. Méthode de résolution

$\bullet\quad$On applique tout d'abord le premier principe de la thermodynamique :

$\Delta U = W + Q$

Comme l'air ne change pas de volume, $W = 0$ donc $\Delta U = Q$.

$\bullet\quad$L'air étant considéré comme un gaz parfait, on a de plus la relation :
$\Delta U = m \times c_v \times \Delta T = 0$, puisqu'on veut que l'air garde la même température ($\Delta T = 0$).

$\bullet\quad$On en déduit :

$Q = \Delta U = 0$, la somme des transferts thermiques est donc nulle.

$\bullet\quad$L'air intérieur reçoit d'un côté une puissance thermique de chauffage ($P \gt 0$) et cède à travers les murs un flux thermique de conduction ($\Phi \lt 0$).

On en déduit que, sur une durée $\Delta t$ :

$Q = (P + \Phi) \times \Delta t = 0$

donc $P + \Phi = 0$
ou encore $P = -\Phi$

$\bullet\quad$Enfin, le flux de conduction :

$\Phi = \dfrac{T_{\text{ext}} - T_i}{R_{\text{th}}}$, où $R_{\text{th}}$ est la résistance thermique des murs et vaut :

$R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda_{\text{béton}} \times S}$

On en déduit la puissance de chauffage :

$P = -\Phi = (T_i - T_{\text{ext}}) \times \dfrac{\lambda_{\text{béton}} \times S}{e}$

Application numérique :

Pour :

$\bullet\quad$$e = 30~cm$,

$\bullet\quad$$S = 100~m^2$,

$\bullet\quad$$T_i = 20^\circ C$,

$\bullet\quad$$T_{\text{ext}} = 5^\circ C$,

$\bullet\quad$et $\lambda_{\text{béton}} = 0.92~ W.m^{-1}.K^{-1}$ :

$P = \dfrac{(20 - 5) \times 0.92 \times 100}{0.30} = 4600 ~ W$

Remarque :
$P$ est largement sous-évaluée, car il faut aussi tenir compte des pertes thermiques par le sol, par le toit et par les ouvertures (portes, fenêtres).

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}