I. Évolution de la température d'un système incompressible
1. Loi phénoménologique de Newton
Considérons un système fermé incompressible, de température uniforme , en contact avec un fluide extérieur sur une surface :
Le fluide est supposé avoir une température constante (par exemple l'air ambiant à ).
Si le système échange uniquement de l'énergie thermique avec l'extérieur (et donc aucun travail n'est effectué), le premier principe de la thermodynamique s'écrit :
(car )
ou encore :
Pour un système fermé incompressible, on sait que :
et que le flux thermique de convection a pour expression :
En substituant ces expressions, on obtient :
ou encore :
, avec
Cette loi phénoménologique, déjà énoncée par Isaac Newton, stipule que la variation de température d'un système au cours du temps est proportionnelle à la différence de température entre ce système et le milieu environnant. Elle n'est valable que pour un système fermé incompressible et à certaines conditions (voir ci-dessus).
2. Résolution de l'équation différentielle
La loi phénoménologique de Newton est une équation différentielle pouvant se mettre sous la forme :
, avec
La constante s'interprète comme un temps caractéristique d'évolution du système, car on observe que le système atteint la température extérieure à près au bout d'une durée de .
La solution générale de cette équation est de la forme :
, où est une constante
Si le système a la température initiale à l'instant , on en déduit que , donc .
La température du système en fonction du temps a donc pour expression finale :
3. Évolution de la température
La courbe suivante est une représentation graphique de la fonction lorsque (donc le système se refroidit au contact du milieu extérieur).
On remarque que la fonction décroît sans jamais atteindre . Elle se rapproche beaucoup de son asymptote au bout d'une durée de , qui est la durée au-delà de laquelle on estime que la température est atteinte (à près).
II. Application
1. Énoncé du problème
Considérons une maison dont les murs d'épaisseur sont en béton et ont une surface intérieure totale . Le système étudié est l'air contenu dans la maison.
Cherchons la puissance de chauffage nécessaire à maintenir l'air intérieur à la température , si l'air extérieur a pour température .
2. Méthode de résolution
On applique tout d'abord le premier principe de la thermodynamique :
Comme l'air ne change pas de volume, donc .
L'air étant considéré comme un gaz parfait, on a de plus la relation :
, puisqu'on veut que l'air garde la même température ().On en déduit :
, la somme des transferts thermiques est donc nulle.
L'air intérieur reçoit d'un côté une puissance thermique de chauffage () et cède à travers les murs un flux thermique de conduction ().
On en déduit que, sur une durée :
donc
ou encoreEnfin, le flux de conduction :
, où est la résistance thermique des murs et vaut :On en déduit la puissance de chauffage :
Application numérique :
Pour :
,
,
,
,
et :
Remarque :
est largement sous-évaluée, car il faut aussi tenir compte des pertes thermiques par le sol, par le toit et par les ouvertures (portes, fenêtres).
= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =