Espérance, variance et écart type

À partir de la loi de probabilité d’une variable aléatoire, on peut calculer des indicateurs de dispersion. En classe de Première ces indicateurs sont l’espérance et la variance.

I) Définitions

Soit X une v.a. dont les valeurs sont x1, x2, …, xn. Pour tout k ∈ {1 ; 2 ; … ; n}, on note pk = P(X = xk).

L’espérance de X est le nombre E(X) défini par :

$E\left(X\right)=\sum _{k=1}^n{x}_k{p}_k=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_n{p}_n$

La variance de X est le nombre V(X) défini par :

$V\left(X\right)=\sum _{k=1}^n{(x_k–E(X\left)\right)}^2{p}_k$

$\text{V}\left(\text{X}\right)={(x_1–E(X\left)\right)}^2{p}_1+{(x_2–E(X\left)\right)}^2{p}_2+\dots +{(x_n–E(X\left)\right)}^2{p}_n$

L’écart type de X est le nombre σ(X) (lire « sigma de X ») défini par :

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

Exemples : • Si X est une v.a. de Bernoulli de paramètre p (p ∈ [0 ; 1]), c’est-à-dire X(Ω) = {0 ; 1} et P(X = 1) = p alors E(X) = p et V(X) = p(1 – p).

• Si X est une v.a. uniforme discrète de paramètre n (n ∈ ℕ), $X\left(\Omega \right)=〚1 ; n〛$ et, pour tout $k\in 〚1;n〛$, $P(X=k)=\frac{1}{n}$, alors $E\left(X\right)=\frac{n+1}{2}$ et $V\left(X\right)=\frac{n^2–1}{12}$.

II) Propriétés

À noter

Cette formule est la formule de König-Huygens.

Si on note X² la v.a. prenant les valeurs $x_1^2, x_2^2, \dots , x_n^2$ et si on pose $\sum _{k=1}^n{x}_k^2{p}_k=E\left(X^2\right)$, on peut montrer que :

$V\left(X\right)=E\left(X^2\right)–{\left(E\right(X\left)\right)}^2$

Théorème. Soit X une v.a., a et b deux réels, alors :

E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X)

Méthode

Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire

Un joueur habile lance des fléchettes sur une cible carrée qu’il touche à tous les coups. La cible comporte quatre zones : à 10 points, et le joueur l’atteint 15 fois sur cent, à 5 points, et le joueur l’atteint 33 fois sur cent, une zone à 1 point, atteinte 45 fois sur cent et une zone à 0 point.

1. Quelle est la probabilité que le joueur atteigne la zone à 0 point ?

2. Le joueur lance une fléchette. Soit X la v.a. égale au nombre de points obtenus.

a. Calculer l’espérance de X.

b. Calculer la variance de X par deux méthodes différentes puis σ(X).

Conseil

1. Ne pas oublier que le joueur atteint la cible 100 fois sur 100.

2. Il faut d’abord déterminer la loi de probabilité de X.

Solution

1. Puisque le joueur atteint la cible à tous les coups, la probabilité cherchée est égale à 1 – (0,15 + 0,33 + 0,45) c’est-à-dire 0,07.

2. X(Ω) = {0 ; 1 ; 5 ; 10}. Le tableau suivant résume la  loi de probabilité de X :

a. En utilisant la définition de l’espérance d’une v.a. on obtient :

E(X) = 0 × 0,07 + 1 × 0,45 + 5 × 0,33 + 10 × 0,15. Donc E(X) = 3,6.

b.  Avec la définition :

V(X) = (0 – 3,6)² × 0,07 + (1 – 3,6)² × 0,45 + (5 – 3,6)²× 0,33 + (10 – 3,6)²× 0,15, soit V(X) = 10,74.

Avec la formule de König-Huygens : pour cela dressons le tableau de la loi de probabilité de X².

V(X) = E(X²) – (E(X))² = 0 × 0,07 + 1 × 0,45 + 25 × 0,33 + 100 × 0,15 – 3,6².

On retrouve la valeur précédente V(X) = 10,74.

L’écart type est $\sigma \left(X\right)=\sqrt{\mathrm{10,74}}$, soit σ(X) ≈ 3,3.