On connaît la forme des solutions des équations différentielles , selon la nature de f, ce qui n’est pas le cas pour la plupart des autres équations.
I) Équation différentielle , a réel
Les solutions sur de l’équation différentielle sont les fonctions de la forme :
où C est une constante réelle
II) Équation différentielle , a réel non nul, b réel
Les solutions sur de l’équation différentielle sont les fonctions de la forme :
À noter
Lorsque on retrouve le cas précédent.
où C est une constante réelle
III) Équation différentielle , a réel non nul, f fonction continue
Si l’on connaît une solution particulière sur un intervalle I de l’équation différentielle , alors toutes les autres solutions sont de la forme :
À noter
Lorsque f est une fonction constante, on retrouve le cas précédent.
où C est une constante réelle
Méthode
Résoudre une équation différentielle de la forme
On considère l’équation différentielle
1. Déterminer les solutions de sur
2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :
a.
b.
c.
Conseils
1. On se ramène à la forme c’est alors une question de cours.
2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.
Solution
1. y solution de Donc .
2. f est solution de donc f est de la forme avec
a. Donc l’unique fonction f solution de vérifiant est définie par et .
b.
ou
S
À noter
on peut donc bien simplifier par En revanche, on ne sait rien de C. Il ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d’égalité (on remarque d’ailleurs que donne une solution).
c. On sait que Donc quel que soit C, Il n’y a donc pas de solution vérifiant la condition