Distributivité ou double distributivité

I. Distributivité de la multiplication

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

Pour n'importe quels nombres $k$, $a$ et $b$, on a :

$k \times (a+b) = k \times a + k \times b$ ou $k(a+b)=ka+kb$

$k \times (a-b) = k \times a - k \times b$ ou $k(a-b)=ka-kb$

Passer de $k \times (a+b)$ à $ka+kb$ se dit développer l'expression.

Exemples :

$\small 7 \times (x-4)=7 \times x + 7 \times (-4) = 7 \times x +(- 28)=7x-28$

II. Réduction d'une expression littérale

Réduire une expression, c'est trouver une expression égale avec le moins de termes possible.

On utilise la distributivité pour simplifier l'expression quand cela est possible :

$A=15x+3x-8x$

$A=15 \times x+3 \times x - 8 \times x$

$A = (15+3-8) \times x$

$A= 10x$

Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.

Exemple :

$A=3x^3-2x^2+x-7-5x^3+5x^2+4x+11$

On regroupe les cubes, les carrés, les $x$ simples et les nombres :

$A=3x^3-5x^3-2x^2+5x^2+x+4x-7+11$

On applique la distributivité :

$\small A=(3-5)x^3+(-2+5)x^2+(1+4)x+(-7+11)$

$A=-2x^3+3x^2+5x+4$

III. Supprimer une parenthèse précédée du signe +

Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse.

$a+(b+c)=a+b+c$

Exemples :

$P=2x+(3+5x)$

$P=2x+3+5x$

$P=(2+5)x+3$

$P=7x+3$

$P=7x+(-3-5x)$

$P=7x+(-3)-5x$

$P=(7-5)x-3$

$P=2x-3$

IV. Supprimer une parenthèse précédée du signe -

Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.

$a-(b+c)=a-b-c$

$a-(b-c)=a-b+c$

Exemples :

$D=2x-(2x+3y)$

$D=2x-2x-3y$

$D=-3y$

$E=-3x-(7-5x)$

$E=-3x-7+5x$

$E=(-3+5)x-7$

$E=2x-7$

IV. La double distributivité

Pour tous nombres relatifs $a$, $b$, $c$, $d$, on a :

$(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

Un exemple

Développer $F=(2x+5)(y-2)$

$F=2x \times y + 2x \times (-2) + 5 \times y + 5 \times (-2)$

$F = 2xy + (-4x) + 5y + (-10)$

$F = 2xy - 4x + 5y - 10$