L’étude de la convexité d’une fonction permet d’apporter des précisions sur la position de sa courbe par rapport aux sécantes ou aux tangentes.
I) Convexité d’une fonction
1) Fonction convexe
Définition : Une fonction f est convexe sur un intervalle I si sa courbe représentative f est située en dessous de chacune des cordes [AB], A et B étant des points quelconques de f d’abscisses respectives a et b dans I.
Définitions équivalentes : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et f sa courbe représentative.
f est convexe sur I si et seulement si f est au-dessus de toutes ses tangentes.
f est convexe sur I si et seulement si f ′ est croissante sur I.
Exemples : • La fonction carré x ↦ x2 est convexe sur ℝ.
La fonction inverse est convexe sur ]0 ; + ∞[.
2) Fonction concave
Définition : Une fonction f est concave sur un intervalle I si −f est convexe sur I.
À noter
Attention, si f n’est pas convexe sur I, ça ne signifie pas nécessairement que f est concave sur I.
Exemples : • La fonction racine carrée x ↦ est concave sur ]0 ; + ∞[.
La fonction inverse est concave sur ]− ∞ ; 0[.
II) Points d’inflexion
Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et f sa courbe représentative. On appelle point d’inflexion de f tout point de f en lequel f change de convexité (passe de convexe à concave ou inversement).
Méthode
Étudier graphiquement la convexité d’une fonction
Soit f une fonction deux fois dérivable sur ℝ dont on donne la courbe représentative. La droite est tangente à la courbe f au point d’abscisse 0.
a. Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels f est convexe, f est concave. f possède-t-elle un point d’inflexion ?
b. Parmi ces deux courbes quelle est celle qui représente f ′ ?
Conseils
Utilisez la définition de la convexité donnant la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
a. Sur ]−∞ ; 0[, les tangentes semblent être au-dessus de la courbe, f serait donc concave sur .
Sur ]0 ; +∞[, les tangentes semblent être en dessous de la courbe, f serait donc convexe sur . L’origine serait un point d’inflexion.
b. On remarque que f est croissante sur ]−∞ ; −1[ et décroissante sur ]−1 ; +∞[. f ′(x) sera donc positif sur ]−∞ ; −1[ et négatif sur ]−1 ; +∞[. La courbe représentant f ′ ne peut donc être que 2.