Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

I. Relation de Pascal

Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $1 \leq k \leq n-1$,

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}$

Démonstration combinatoire :
Dans un arbre « succès–échec » à $n$ niveaux, le nombre de chemins réalisant $k$ succès est
$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$.

Parmi ces chemins, on peut distinguer ceux qui commencent par :

$\circ$ Un succès : il faut donc ensuite $k - 1$ succès en $n - 1$ épreuves. Leur nombre est
$\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}$.

$\circ$ Un échec : il faut donc ensuite $k$ succès en $n - 1$ épreuves. Leur nombre est
$\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}$.

Donc : $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}$

Exemple d'application : $\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$

II. Le triangle de Pascal

Triangle de Pascal : _{(issu de Wikipedia)}

Présenté également souvent ainsi :

À l'intersection de la ligne $n$ et de la colonne $k$, on lit l'entier $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$.

On commence par écrire les « 1 » dans la 1^ère colonne et sur la diagonale, puis on utilise la relation de Pascal, selon le schéma : $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}$