Coefficient de corrélation linéaire – Autres ajustements

La pertinence d’un ajustement affine des variables X et Y peut être évaluée par le calcul de leur coefficient de corrélation linéaire. On peut alors envisager d’autres ajustements.

I) Coefficient de corrélation linéaire

Définition : Le coefficient de corrélation linéaire des variables X et Y est :

$r=\frac{{\text{σ}}_{xy}}{{\text{σ}}_x{\text{σ}}_y}$

Comme pour σ_xy et σ_x , on définit $\text{}{\text{σ}}_y=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i^2-{\overline{y}}^2}$.

Interprétation : r est compris entre − 1 et 1. Il mesure la « qualité » d’une régression linéaire entre X et Y. Plus précisément :

si |r| est proche de 1 (r proche de 1 ou de − 1), la relation linéaire entre X et Y est forte, un ajustement linéaire est pertinent ;

si |r| = 1, les points du nuage sont alignés ; si r = 0, il n’existe pas de relation linéaire entre X et Y, mais il peut exister une autre relation ;

si r > 0, la droite d’ajustement a un coefficient directeur positif ; si r < 0, ce coefficient directeur est négatif.

À noter

Une corrélation entre X et Y n’est pas une « relation de cause à effet ». Souvent, X et Y sont corrélées parce qu’elles ont une cause commune.

II) Ajustements se ramenant à un ajustement affine

Si les points du nuage semblent proches d’une hyperbole d’équation $y=\frac{1}{ax+b}$, on pose, pour tout i, $z_i=\frac{1}{y_i}$. On détermine l’équation z = ax + b d’une droite d’ajustement du nuage formé des points de coordonnées (x_i ; z_i) et on ajuste le nuage (x_i ; y_i ) par la courbe d’équation $y=\frac{1}{ax+b}$.

Si les points du nuage semblent proches d’une courbe exponentielle, on pose, pour tout i, z_i = ln(y_i). On détermine l’équation z = Ax + B d’une droite d’ajustement du nuage formé des points de coordonnées (x_i ; z_i) et on ajuste le nuage (x_i ; y_i) par la courbe d’équation y = be^Ax, avec b = e^B.

Mot-clé

En posant $z_i=\frac{1}{y_i}$ ou z_i = ln(y_i), on fait un changement de variable.

Méthode

Réaliser un ajustement non linéaire d’un nuage de points

Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la production d’énergie d’origine éolienne en France de 2000 à 2007 (exprimée en milliers de tonnes d’équivalent pétrole, ktep). Source : INSEE, avril 2008.

a. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X et Y. Un ajustement linéaire paraît-il ­approprié ?

b. Représenter le nuage de points associé à la série et justifier la pertinence d’un ajustement non linéaire.

c. Réaliser un ajustement exponentiel du nuage précédent.

Conseils

c. Calculez, pour tout entier i, le nombre z_i = ln(y_i) et déterminer l’équation réduite d’une droite d’ajustement du nuage formé des points de coordonnées (x_i ; z_i).

a. D’après la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de X et Y est r = 0,843 en arrondissant au millième.

|r| n’est pas très proche de 1, un ajustement affine ne semble pas approprié.

b. Les points du nuage ci-contre semblent proches d’une courbe exponentielle, un ajustement exponentiel paraît plus approprié qu’un ajustement affine.

c. Pour tout i, on pose z_i = ln(y_i).

D’après la calculatrice, en arrondissant les coefficients au centième, la droite des moindres carrés ajustant le nuage formé des points de coordonnées (x_i ; z_i) a pour équation z = 0,54x + 1,92.

Or e^1,92 = 6,82 (arrondi au centième).

Donc le nuage initial peut être ajusté par la courbe exponentielle d’équation y = 6,82 × e^0,54x (en pointillés sur le graphique).