Cercle trigonométrique. Mesure d’un angle

Par « enroulement », chaque nombre réel est associé à un point du cercle trigonométrique. On fait ainsi le lien entre longueur d’un arc et angle au centre, et on définit une nouvelle unité de mesure des angles : le radian.

I) Le cercle trigonométrique

1)  Définition

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

Le cercle trigonométrique est le cercle 𝒞 de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens « ­inverse des aiguilles d’une montre » appelé « sens trigonométrique ».

2)  Enroulement de la droite réelle

On définit une « graduation » du cercle 𝒞 en enroulant la droite réelle autour de 𝒞, de manière à faire coïncider chaque réel x avec un point de 𝒞, le réel 0 étant associé au point I.

Tout réel x est associé à un unique point M de 𝒞, appelé image de x.

Tout point de 𝒞 correspond à une infinité de nombres réels : les réels x1 et x2 sont associés au même point du cercle 𝒞 si et seulement si x2 – x1 est un multiple de 2π.

Si x est un réel appartenant à [0 ; π] et M le point de 𝒞 image de x, alors x est la longueur de l’arc $\stackrel{⌢}{\text{IM}}$ du cercle 𝒞.

II) Mesure d’angle : le radian

Le radian (symbole : rad) est la mesure d’un angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique 𝒞 un arc de longueur 1.

Plus généralement, si A et B sont deux points du cercle 𝒞 tels que l’arc $\stackrel{⌢}{\text{AB}}$ du cercle 𝒞 ait pour longueur ℓ, alors ℓ est la mesure en radians de l’angle $\widehat{\text{AOB}}$.

Si x est un réel appartenant à [0 ; π] et M le point de 𝒞 image de x, alors x est la mesure en radians de l’angle $\widehat{\text{IOM}}$.

Un angle plat (180°) a pour mesure π radians.

À noter

Les mesures d’angles en degrés et en radians sont proportionnelles, ex. $\frac{\pi }{2}$ rad = 90°.

Méthode

1)  Placer sur le cercle trigonométrique le point image d’un réel donné

Sur le cercle trigonométrique 𝒞,les points A et C (respectivement D et F, G et K, L et N) partagent l’arc $\stackrel{⌢}{\text{IJ}}$ (­respectivement $\stackrel{⌢}{\text{JI′}}$, $\stackrel{⌢}{\text{I′J′}}$, $\stackrel{⌢}{\text{J′I}}$) en trois arcs de même longueur. B (­respectivement E, H, M) est le milieu de l’arc $\stackrel{⌢}{\text{AC}}$ (respectivement $\stackrel{⌢}{\text{DF}}$, $\stackrel{⌢}{\text{GK}}$, $\stackrel{⌢}{\text{LN}}$).

Donner le point image des réels suivants :

a.$\frac{3\pi }{4}$
b. $–\frac{\pi }{3}$

Conseil

• Si a > 0, son image sur le cercle 𝒞 s’obtient en parcourant sur ce cercle une distance égale à a dans le sens positif à partir du point I.

• Si a < 0, on parcourt sur 𝒞 une distance égale à –a dans le sens négatif à partir de I.

Solution

a. $\frac{3\pi }{4}>0$ et $\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}$, or E est au milieu du quart de cercle $\stackrel{⌢}{\text{JI′}}$.

L’image de $\frac{3\pi }{4}$ est E.

b. $–\frac{\pi }{3}<0$, on parcourt 𝒞 dans le sens négatif. $\stackrel{⌢}{\text{IN}}$ et $\stackrel{⌢}{\text{NL}}$ ont pour longueur $\frac{1}{3}\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$ et $\stackrel{⌢}{\text{IL}}$ pour longueur $\frac{\pi }{3}$. L’image de $–\frac{\pi }{3}$ est L.

2)  Passer des degrés aux radians et inversement

a. Convertir 75° en radians.
b. Convertir $\frac{5\pi }{6}$ rad en degrés.

Conseil

Utiliser la proportionnalité des mesures d’angles en degrés et en radians, et la relation $\frac{\pi }{2}$ rad = 90°.

Solution

a. Si 75° = t rad, alors $t=\frac{75\times \frac{\pi }{2}}{90}=\frac{75\pi }{180}$ D’où 75° = $\frac{5\pi }{12}$ rad.

b. Si $\frac{5\pi }{6}$ rad = α°, alors $\alpha =\frac{90\times \frac{5\pi }{6}}{\frac{\pi }{2}}=90\times \frac{5}{6}\times 2$. D’où $\frac{5\pi }{6}$ rad = 150°.