Nombre dérivé ; fonction dérivée

A) Définitions (rappels)

Définition et notation du nombre dérivé
Soit f une fonction dont la courbe représentative a une tangente au point d’abscisse a.
• Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.
• Le nombre dérivé de f en a est noté f′(a).

Définition de fonction dérivable et de fonction dérivée
• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si f admet un nombre dérivé en tout point de I.
• La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f′.

B) Dérivées des fonctions usuelles (rappels)

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

ℕ* désigne l’ensemble des nombres entiers strictement positifs.

C) Opérations sur les fonctions dérivables (rappels)

Dans ce qui suit, u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

Exemples
1. Soit f la fonction définie sur [1, 10] par : $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ;
pour tout x de [1, 10], $f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ .
On utilise , et .
2. Soit g la fonction définie sur ]0, + ∞[ par : $g (x) = \frac{3}{4} (x + \frac{1}{x})$ ;
pour tout x de ]0, + ∞[, $g^{'} (x) = \frac{3}{4} (1 - \frac{1}{x^{2}})$ .
On utilise et le 1°.
3. Soit h la fonction définie sur ℝ par : h(x) = (3x + 1) (– x + 2) ;
pour tout x de ℝ, h′(x) = 3(– x + 2) + (3x + 1) (– 1) ; h′(x) = – 6x + 5.
On utilise et .
4. Soit i la fonction définie sur ℝ par : i(x) = 4x³ – 7x² + 2x + 7 ;
pour tout x de ℝ, i′(x) = 4(3x²) – 7 (2x) + 2 ; i′(x) = 12x² – 14x + 2.
On utilise , et .
5. Soit j la fonction définie sur [0, 10] par : $j (x) = \frac{2 x + 1}{3 x + 4}$ .
Pour tout x de [0, 10], $j^{'} (x) = \frac{(2) (3 x + 4) - (2 x + 1) (3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$ ; $j^{'} (x) = \frac{5}{{(3 x + 4)}^{2}}$ .
On utilise et .
6. Soit k la fonction définie sur ℝ par :
$k (t) = \sin (3 t + \frac{π}{4}) + \cos (2 t + \frac{π}{6})$ .
Pour tout t de ℝ, $k^{'} (t) = 3 \cos (3 t + \frac{π}{4}) - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6})$ .
On utilise , et .
7. Soit l la fonction définie sur ℝ par : $l (x) = (2 x - 1) e^{x}$ .
Pour tout x de ℝ, $l^{'} (x) = 2 e^{x} + (2 x - 1) e^{x} = (2 + (2 x - 1)) e^{x}$ , $l^{'} (x) = (2 x + 1) e^{x}$ .
On utilise , , et .

D) Dérivées des fonctions composées usuelles

Dans ce qui suit, u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Exemples
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : $f (x) = {(7 x + 1)}^{2}$ ; pour tout x de ℝ, $f^{'} (x) = 2 (7) {(7 x + 1)}^{2 - 1} = 14 (7 x + 1)$ .
On a utilisé et .
2. Soit g la fonction définie sur $(\frac{1}{2}, + \infty)$ par $g (x) = \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$ . La fonction g est de la forme : $g = 3 u^{- 2}$ où u est définie sur $(\frac{1}{2}, + \infty)$ par : $u (x) = 2 x - 1$ .
Donc $g^{'} (x) = 3 \times (- 2) \times u^{- 3}$ , d’après le résultat . $u^{'} (x) = 2$ donc $g^{'} (x) = - 6 {(2 x - 1)}^{- 3} = \frac{- 6}{{(2 x - 1)}^{3}} .$
3. Soit h la fonction définie sur $ℝ$ par $h (t) = (2 t + 3) e^{- 2 t + \frac{1}{2}}$ . La fonction h est le produit des deux fonctions v et w définies sur $ℝ$ par $v (t) = 2 t + 3$ et $w (t) = e^{- 2 t + \frac{1}{2}}$ . Donc $h^{'} (t) = v^{'} (t) \times w (t) + v (t) \times w^{'} (t)$ , d’après le résultat . $v^{'} (t) = 2$ et, comme $w (t) = e^{u (t)}$ avec $u (t) = 2 t + \frac{1}{2}$ , donc $u^{'} (t) = - 2$ , on a : $w^{'} (t) = u^{'} (t) \times e^{u (t)} = - 2 e^{- 2 t + \frac{1}{2}}$ , d’après le résultat .
Donc $h^{'} (t) = 2 \times e^{- 2 t + \frac{1}{2}} + (2 t + 3) \times (- 2 e^{- 2 t + \frac{1}{2}})$ .
$h^{'} (t) = 2 \times e^{- 2 t + \frac{1}{2}} - 4 t e^{- 2 t + \frac{1}{2}} - 6 e^{- 2 t + \frac{1}{2}} = (- 4 - 4 t) e^{- 2 t + \frac{1}{2}}$ .
4. Soit k la fonction définie sur $(- \frac{1}{3}, + \infty)$ par $k (t) = \ln (3 t + 1)$ . On a $k (t) = \ln (u (t))$ avec $u (t) = 3 t + 1$ . On a $u^{'} (t) = 3$ . D’après le résultat , on a $k^{'} (t) = \frac{u^{'} (t)}{u (t)} = \frac{3}{3 t + 1}$ .

E) Sens de variation d’une fonction

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est positive sur I, alors f est croissante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

Primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle

A) Ensemble des primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que F′ = f.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f.

Toutes les primitives de f sont les fonctions définies sur I par x ↦ F(x) + C, où C est une constante réelle.

Exemple
Soit f une fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² – 2.
Une primitive de f est définie sur ℝ par g(x) = x³ – 2x.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
F(x) = x³ – 2x + C où C est une constante réelle quelconque.
Vérifier que, pour tout x de ℝ, $g^{'} (x) = f (x)$

B) Primitives des fonctions usuelles

F donne la forme générale des primitives sur un intervalle I de la fonction f. C est une constante réelle quelconque.

C) Primitives d’une somme de fonctions, d’un produit d’une fonction par un nombre réel

Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I. a199b2fe-0e35-4883-af18-1dd0c7ec8f01

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, et si a est un nombre réel, alors aF est une primitive de af sur I. fbde78f0-6420-4738-b6db-5b05404a43fd

Exemples
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –3t + 2.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
$F (t) = - 3 (\frac{1}{2} t^{2}) + 2 t + C$ , $F (t) = - \frac{3}{2} t^{2} + 2 t + C$ , où C est une constante réelle quelconque.
• La variable est t.
• On utilise , , et .
2. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –2x² + 4x + 5.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
$F (x) = - 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + 5 x + C, F (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + C,$
où C est une constante réelle quelconque.
On utilise , et .
3. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 2 sin 3x – cos 4x.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par : $f (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cos 3 x) - (\frac{1}{4} \sin 4 x) + C$ , où C est une constante réelle quelconque ; $f (x) = - \frac{2}{3} \cos 3 x - \frac{1}{4} \sin 4 x + C$ .
On utilise , et .

Remarque
Lorsqu’on dispose d’une calculatrice équipée d’un logiciel de calcul formel, on peut vérifier les calculs de primitives et de dérivées.

D) Primitives de fonctions composées

Dans les formules suivantes, u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et C une constante réelle quelconque.

Exemples
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 4 (4x + 1)².
f(x) est de la forme u′(x)[u(x)]n, avec u(x) = 4x + 1, donc u′(x) = 4 et n = 2.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
$F (x) = \frac{1}{2 + 1} {(4 x + 1)}^{2 + 1} + C$ ; $G (x) = \frac{1}{3} {(4 x + 1)}^{3} + C$ ,
où C est une constante réelle quelconque.
2. Soit g la fonction définie sur ℝ par : $g (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .
On utilise .
g(x) ressemble à $\frac{u^{'} (x)}{{[u (x)]}^{2}}$ . On pose alors u(x) = x² + 1, donc u′(x) = 2x.
On peut transformer l’écriture de g(x) : $g (x) = \frac{1}{2} (\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$ .
Toutes les primitives de g sont donc définies sur ℝ par : $G (x) = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} + 1}) + C$ , où C est une constante réelle quelconque ;
$G (x) = - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$ , où C est une constante réelle quelconque.
3. Soit h la fonction définie sur ]– 3, + ∞[ par $f (x) = \frac{1}{x + 3}$ .
Dans le crochet de la page précédente on fait apparaître « exactement » $\frac{u^{'} (x)}{{[u (x)]}^{2}}$ . On utilise .
En posant u(x) = x + 3, nous avons u′(x) = 1, et $h (x) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)}$ . Pour tout x de ]– 3, + ∞[, u(x) > 0.
Les primitives de f sur ]– 3, + ∞[ sont donc définies par H(x) = ln (x + 3) + C où C est une constante réelle. (On utilise ).
4. Déterminons les primitives de la fonction i définie sur ℝ par i(x) = e³x.
i « ressemble à » u′eu avec u(x) = 3x et u′(x) = 3.
Nous sommes donc conduits à écrire : $i (x) = \frac{1}{3} (3 e^{3 x})$ .
Les primitives de f sont donc définies sur ℝ par $I (x) = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ où C est une constante réelle quelconque.

Intégrale d’une fonction

A) Définition de l’intégrale

Soit f une fonction de signe quelconque définie sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, a et b deux éléments de I.

On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel F(b) – F(a).

On note : $\int_{a}^{b} f (x)d x=F (b) –F (a)$ .

On lit : « somme de a et b de $f (x) d x$ .

On écrit aussi : $\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b}$ .

Exemples
• $\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x = {[x^{2} + x]}_{1}^{2} = 6 - 2 = 4$ .
• $\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2 x) d x = {[x^{3} + x^{2}]}_{0}^{2} = 8 + 4 = 12$ .
• $\int_{1}^{e} \frac{1}{t} d t = {[\ln t]}_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1$ .
• $\int_{2}^{1} \frac{1}{t^{2}} d t = {[- \frac{1}{t}]}_{2}^{1} = - 1 + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ .
• $\int_{0}^{\ln 2} e^{3 x} d x = {[\frac{1}{3} e^{3 x}]}_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{3} e^{3 \ln 2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} e^{\ln 2^{3}} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} e^{\ln 8} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ .
• $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin t d t = {[- \cos t]}_{0}^{\frac{π}{4}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ .

B) Propriétés de l’intégrale

I désigne un intervalle de ℝ, f et g des fonctions définies et positives sur I et a, b et c des éléments de I.

Linéarité

Pour tous nombres réels α et β :

$\int_{a}^{b} [α f (x) + β g (x)] d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Positivité

Si a ⩽ b et f(x) ⩾ 0 sur [a, b], alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$ .

Croissance

Si $f (x) \geq g (x)$ pour tout x de $(a, b)$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Relation de Chasles

$\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$ .

C) Valeur moyenne d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; soient a et b deux éléments de I tels que a < b.

On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel :

$V_{m} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x)d x$ .

Exemple
Soit f la fonction définie sur $[0, \frac{π}{2}]$ par f(x) = sin 2x.
La valeur moyenne de f sur $[0, \frac{π}{2}]$ est : $V_{m} = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x$ .
Une primitive de x ↦ sin 2x est $x \mapsto - \frac{1}{2} \cos 2 x$ .
Voir le résultat du paragraphe ➁B.
D’où $V_{m} = \frac{2}{π} {[- \frac{1}{2} \cos 2 x]}_{0}^{\frac{π}{2}}$ ; $V_{m} = \frac{2}{π} [- \frac{1}{2} \cos π - (- \frac{1}{2} \cos 0)]$ ;
cos π = – 1 et cos 0 = 1 ; d’où $V_{m} = \frac{2}{π} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{π}$ .

Intégrale fonction de sa borne supérieure

La fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est l’unique primitive de f sur $(a, b)$ prenant la valeur 0 pour x = a.

Calculs d’aire

A) f positive sur [a, b]

Soit f une fonction positive sur un intervalle [a, b]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan, ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

36fe705e-5160-44bf-b8b0-e5cd4659fd6a

a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x), est : 𝒜 = $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Exemple
On considère la courbe représentative H de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par : $f (x) = \frac{1}{x}$ .
L’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe H, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3 est $A = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x$ (puisque $\frac{1}{x} > 0$ sur [1, 3]).
$A = {[\ln x]}_{1}^{3} = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3 - 0 = \ln 3$ ≈ 1,1 unité d’aire.

Vérifier toujours sur la figure l’ordre de grandeur du résultat d’un calcul d’aire en « comptant les carreaux ».

B) f est négative sur [a, b]

Soit f une fonction négative sur un intervalle [a, b]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0,

est : 𝒜 = $- \int_{a}^{b} f (x) d x$ (attention au signe moins).

ca7e61bf-6148-4a69-8019-7b8dcd64612c

C) Aire limitée par deux courbes représentatives

Soient f et g deux fonctions telles que pour tout x de [a, b], g(x) ≤ f(x). L’aire A, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par les courbes représentatives de f et g et les deux droites d’équations respectives x = a et x = b est :

𝒜 = $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Exemple
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) unité : 1 cm sur chaque axe. Sur la figure, C est la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par $f (x) = x + \frac{1}{x}$ . La droite ∆ d’équation y = x est une asymptote de C.
Calculons l’aire en cm² de la partie limitée par C, ∆ et les droites d’équations x = 1 et x = 2.
Les deux fonctions g : x ↦ x et f : $x \mapsto x + \frac{1}{x}$ sont telles que pour tout x de [1, 2] g(x) ⩽ f(x). D’où l’aire cherchée est :
$A = \int_{1}^{2} [f (x) - g (x)] d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x = {[\ln x]}_{1}^{2}$ ; $A = (\ln 2) {cm}^{2} \approx 0,7 {cm}^{2}$ .

D) Exemples d’unités d’aire

L’aire 𝒜 considérée dans les résultats des paragraphes A, B, C ci-dessus est exprimée en unités d’aire.

Dans un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) l’unité d’aire est l’aire du carré défini par les vecteurs unitaires $\vec{O I}$ et $\vec{O J}$ du repère.

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Si sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées l’unité choisie est 1 cm, alors l’unité d’aire est 1 cm² ; si l’unité choisie sur chaque axe de coordonnée est 2 cm, alors l’unité d’aire est 4 cm².

Dans un repère orthogonal (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) l’unité d’aire est l’aire du rectangle défini par les vecteurs unitaires $\vec{O I}$ et $\vec{O J}$ du repère.

Si l’unité choisie sur l’axe des abscisses est 2 cm et si l’unité sur l’axe des ordonnées est 1 cm, alors l’unité d’aire est 2 cm².

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Calcul différentiel et intégral