Fonction exponentielle de base e

A) Définition et notation

Propriété

Il existe une valeur unique de a pour laquelle la courbe représentative de la fonction $x \mapsto a^{x}$ a, au point d’abscisse 0, une tangente de coefficient directeur égal à 1.

L’étude des fonctions $x \mapsto a^{x}$ figure au paragraphe ➀ du chapitre 2.

Cette valeur de a est notée e, $e \approx 2,72$ .

Définition
La fonction $x \mapsto e^{x}$ est la fonction exponentielle de base e, souvent appelée plus simplement fonction exponentielle.

À l’aide d’une calculatrice, découvrez e^1,32, e^–0,7.

B) Relations fonctionnelles

La fonction $x \mapsto e^{x}$ possède les propriétés des fonctions $x \mapsto a^{x}$ .

Pour tous nombres réels a et b, e^a+^b = e^a × e^b ; $e^{–a} = \frac{1}{e^{a}}$ et $e^{a–b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ;

• Pour tout nombre réel a et tout nombre entier relatif n, ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ .

C) Dérivation

Théorème

La fonction exponentielle f : $x \mapsto e^{x}$ est dérivable sur ℝ et a pour fonction dérivée f′: $x \mapsto e^{x}$ .

La fonction exponentielle (de base e) est égale à sa fonction dérivée.

On en déduit la propriété suivante.

Propriété

Soit a et b des constantes réelles.

La fonction g : $x \mapsto e^{a x + b}$ est dérivable sur ℝ et $g' (x) = a e^{a x + b}$ pour tout x réel.

Exemples
• Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par : $f (x) = e^{\frac{1}{2} x + 1}$ . Pour tout x de $ℝ$ , $f^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x + 1}$ .
• Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par : $f (t) = (- t + 3) e^{- t}$ .
Pour tout t de $ℝ$ . :
$f^{'} (t) = (- 1) e^{- t} + (- t + 3) (- e^{- t})$ ,
$f^{'} (t) = ((- 1) - (- t + 3)) e^{- t} = (- 1 + t - 3) e^{- t} = (t - 4) e^{- t}$
Un résultat de première : ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

D) Limites en − ∞ et en + ∞

Limite en + ∞

En remplissant un tableau de valeurs à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, on constate que e^x augmente très vite quand x augmente (par exemple : e¹⁰≈ 22 026,5).

On démontre, et nous l’admettons, que 10ⁿ étant choisi aussi grand que l’on veut, e^x est supérieur à 10ⁿ dès que x est assez grand. Cette propriété s’énonce :

« la limite de e^x quand x tend vers + ∞ est égale à + ∞. »

Notation
$\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + ∞$

Limite en − ∞

D’après la relation e⁻^x = $\frac{1}{e^{x}}$ , on a e⁻¹⁰ ≈ $\frac{1}{22 026,5}$ ≈ 0,000 05. On constate que quand x « tend vers − ∞ », e^x « tend vers zéro ».

On démontre, et nous l’admettons, que 10⁻ⁿ étant choisi aussi proche de 0 que l’on veut, e^x est compris entre 0 et 10⁻ⁿ dès que le nombre négatif x est assez grand en valeur absolue. Cette propriété s’énonce : « la limite de e^x quand x tend vers − ∞ est égale à 0 ».

Notation
$\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ .

Limites des fonctions monômes

Un théorème analogue concerne les fonctions monômes.

Théorème

Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x \to + \infty} x^{n} = + \infty$ . $lim_{x \to - \infty ∞} x^{n} = (\begin{matrix} + \infty si n est pair, \\ - \infty si n est impair. \end{matrix})$

E) Courbe représentative

Tableau de variation et courbe représentative

Croissance comparée en + ∞

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Pour les grandes valeurs de x, l’exponentielle e^x l’emporte sur toute fonction pussance xⁿ.pour les grandes valeurs de x, l’exponentielle e^x l’emporte sur toute fonction puissance xⁿ.

Théorème

Pour tout nombre entier naturel n, $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} x^{n} e^{- x} = 0 .$

Fonction logarithme népérien

A) Définition

Définition
Soit a un nombre réel strictement positif.
Le logarithme népérien de a, noté ln (a) ou plus simplement ln a, est le nombre b tel que e^b = a.

Exemples
• e⁰ = 1, donc ln 1 = 0.
• e¹ = e, donc ln e = 1.

À retenir
La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur $(0, + \infty)$ par : $x \mapsto y = \ln x$ avec $x = e^{y}$ .

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Exemples
La touche de la calculatrice, ou la fonction LN() d’un tableur permettent d’obtenir la valeur numérique de ln(x) pour tout x > 0 avec une précision suffisante.
Par exemple : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,098…

B) Propriétés algébriques

Le logarithme népérien a les mêmes propriétés algébriques que le logarithme décimal.

Propriétés

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tout entier naturel n et pour tout réel x :

ln (a × b) = ln a + ln b ; ln $(\frac{1}{a})$ = − ln a ; ln $(\frac{a}{b})$ = log a − log b ;

ln (aⁿ) = n ln a ; ln ( $\sqrt{a}$ ) = $\frac{1}{2}$ ln a ; ln (a^x) = x ln a .

C) Lien avec le logarithme décimal

Propriété

Pour tout nombre réel strictement positif x, log x = $\frac{l n x}{l n 10}$ .

D) Variations et courbe représentative

Dérivée

Propriété

La fonction logarithme népérien ln est dérivable sur son intervalle de définition ]0, + ∞[ et ln′(x) = $\frac{1}{x}$ .

Limites

Théorème

$\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ ; $\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ ; $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ .

Tableau de variation et courbe représentative

Propriété

La fonction logarithme népérien ln est strictement croissante sur son intervalle de définition ]0, + ∞[.

Conséquences

À retenir
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b : a < b si et seulement si ln a < ln b ;
a = b si et seulement si ln a = ln b.
Pour tout nombre réel strictement positif a : si 0 < a < 1, alors ln a < 0 ; si a > 1, alors ln a > 0.

Fonction exponentielle de base, fonction logarithme népérien

Fonction exponentielle de base e

A) Définition et notation

B) Relations fonctionnelles

C) Dérivation

D) Limites en − ∞ et en + ∞

E) Courbe représentative

Fonction logarithme népérien

A) Définition

B) Propriétés algébriques

C) Lien avec le logarithme décimal

D) Variations et courbe représentative