I. Probabilité d’un événement

1. Fréquence et probabilité

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'apparition de chaque issue tend à se stabiliser autour d’une valeur.
Cette valeur est appelée probabilité de l’issue.

2. Loi de probabilité

Associer une probabilité à chaque issue d’un univers $\Omega$ définit la loi de probabilité de l’expérience.

Propriétés fondamentales

Soient $p_1,\ p_2,\ ...,\ p_n$ les probabilités des issues de l’univers $\Omega$ :

$0 \le p_i \le 1$ pour tout $i$
$p_1 + p_2 + ... + p_n = 1$
$p(\emptyset) = 0$
$p(\Omega) = 1$

3. Exemple

Pour un lancer de dé à 6 faces :
$p(1) + p(2) + ... + p(6) = 1$

Si l’on s’intéresse à l’événement $A$ = « obtenir un multiple de 3 », alors :
$p(A) = p(3) + p(6)$

4. Cas d’équiprobabilité

Lorsqu’une expérience aléatoire présente $n$ issues toutes aussi probables, on dit qu’elle est équiprobable.
Chaque issue a alors une probabilité de $\dfrac{1}{n}$ .

Exemple :
Dans un lancer de dé équilibré à 6 faces,
$p(1) = p(2) = ... = p(6) = \dfrac{1}{6}$

La probabilité d’un événement $A$ est donc :
$p(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues favorables à A}}{\text{nombre total d’issues}}$

Dans notre exemple, « obtenir un multiple de 3 » correspond aux issues ${3,\ 6}$ donc :
$p(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Propriétés sur les événements

Soient $A$ et $B$ deux événements :

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
$p(\overline{A}) = 1 - p(A)$

II. Représentation des données

Les informations fournies dans un exercice de probabilités peuvent être représentées de plusieurs façons mais deux sont particulièrement utilisées.

1. Les tableaux

Ils permettent de lister les probabilités de plusieurs événements et également d'indiquer le nombre d'éléments vérifiant deux conditions en même temps à l'aide de tableaux à double entrée.

Exemple 1 :
Voici les probabilités d'apparition des faces d'un dé truqué.
picture-in-text
On constate qu'ici les faces n'ont pas la même probabilité d'apparition. Il n'y a donc pas équiprobabilité comme c'est le cas dans un dé équilibré.

Exemple 2 :
Dans un collège, on s'est intéressé aux élèves pratiquant certaines activités sportives tout en regardant s'ils étaient demi-pensionnaires ou non.
132 élèves sont externes. Parmi eux 54 pratiquent le rugby et 46 jouent au tennis. On sait qu'au total 80 élèves jouent au rugby, autant jouent au tennis et 50 font du badminton.

On peut obtenir le tableau suivant dans lequel on a calculé les données que l'énoncé ne fournissait pas.

picture-in-text

En effet, puisque 132 élèves sont externes et que 100 pratiquent le rugby ou le tennis, cela signifie donc que 132 - 100 = 32 élèves font du badminton.

Puisqu'on connaît le nombre total d'élèves pratiquant chacun des trois sports, on en déduit le nombre d'élèves demi-pensionnaires associés à ces sports.

On vérifie que le nombre total d'élèves, en ligne et en colonne, est bien le même.

Ainsi, par exemple, 34 élèves demi-pensionnaires pratiquent du tennis. La probabilité qu'un élève choisi au hasard parmi les demi-pensionnaires joue au tennis est donc de $\frac{34}{78}$ mais la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit demi-pensionnaire et joue au tennis est de $\frac{34}{210}$ .

Il faut donc bien faire attention au contexte dans lequel on se place quand on calcule des probabilités avec ce genre de tableau. S'intéresse-t-on à la population globale ou seulement à une catégorie particulière ?

2. Les arbres

Une société de sondage s'intéresse aux habitudes de clients concernant deux marques de céréales A et B. 70% des personnes indiquent préférer la marque A, les autres achètent la marque B.

Quelques semaines plus tard, la société recontacte les mêmes clients et constate que 40% des clients qui avaient choisi la marque A lui sont restés fidèles, les autres ont acheté la marque concurrente. Elle constate également qu'au sein des clients qui avaient acheté la marque B, ils ont ensuite acheté, à part égale, des céréales de chacune des deux marques.

On a représenté ici la probabilité d'apparition des événements A et B puis celles de A et B quand A ou B s'est déjà produit.