Calcul d’intégrales, valeur moyenne

Une intégrale se calcule à l’aide des primitives de la fonction que l’on intègre.

I) Lien entre intégrale et primitives d’une fonction continue

Théorème fondamental : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b], la fonction F_a définie sur [a ; b] par $F_a\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t$ est la primitive de f qui s’annule en a. 

Conséquence : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I. Pour tous a et b de I, on a :

_{${\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t={\left(F\left(t\right)\right)}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$}

II) Linéarité de l’intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a, b de I et pour tout λ réel, on a :

III) Valeur moyenne

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le réel :

$\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t$

Interprétation graphique : Pour une fonction ­positive f, la valeur moyenne µ est le réel tel que le rectangle de côtés de mesures µ et (b − a) ait la même aire que le domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = a et x = b.

Méthode

Calculer l’aire d’un domaine limité par deux courbes

On considère les fonctions f et g ­définies sur ]0 ; + ∞[par $f\left(x\right)=x-2+\frac{\ln x}{x}$ et g(x) = x − 2.

On note $C$ et $C$′ leurs courbes respectives dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Calculer l’aire en cm², du domaine D du plan limité par les courbes $C$, $C$′ et les droites d’équation $x=\frac{1}{e}$ et x = 2.

Conseils

Étape 1 Cherchez le signe de la fonction f − g sur l’intervalle $\left(\frac{1}{e};2\right)$.

Étape 2 Découpez $\left(\frac{1}{e};2\right)$ en intervalles sur lesquels le signe de f − g est constant. L’aire de chacun des domaines ainsi délimités est égale à l’intégrale de f − g si f − g est positive, et à l’opposé de l’intégrale de f − g si f − g est négative.

L’aire de D (en u.a.) est alors la somme de l’aire de chacun des domaines.

Étape 3 Convertissez le résultat précédent en cm².

Étape 1 Pour tout x > 0, on a $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}\text{⩾}0\iff x\text{⩾}1$.

Donc f − g est négative sur $\left(\frac{1}{e};1\right)$, positive sur [1 ; 2].

Étape 2 On a $A=A_1+A_2=-{\int }_{\frac{1}{e}}^1\left(\frac{\ln t}{t}\right)\text{d}t+{\int }_1^2\left(\frac{\ln t}{t}\right)\text{d}t$. Or une primitive de $t\mapsto \frac{\ln t}{t}$, fonction de la forme u′u avec u(t) = lnt, est $t\mapsto \frac{1}{2}{\left(\ln t\right)}^2$. Donc

$A=-{\left(\frac{1}{2}{\left(\ln t\right)}^2\right)}_{\frac{1}{e}}^1+{\left(\frac{1}{2}{\left(\ln t\right)}^2\right)}_1^2=-\left(-\frac{1}{2}{\left(\ln \frac{1}{e}\right)}^2\right)+\frac{1}{2}{\left(\ln 2\right)}^2$$=\frac{1}{2}+\frac{{\left(\ln 2\right)}^2}{2}\text{u}\text{.a}\text{.}$

Étape 3 On a 1 u.a. = 1 × 2 cm² = 2 cm². Donc A = 1 + (ln2)² cm².