Le nombre de listes de objets deux à deux distincts pris parmi n, ordonnées ou non, se détermine en fonction de et de .
I) Arrangements et factorielle
Définition : Soit . On appelle arrangement de éléments d’un ensemble E comportant éléments, tout -uplet d’éléments deux à deux distincts de .
Théorème : Le nombre d’arrangements de éléments d’un ensemble à éléments est .
Définition : La factorielle d’un entier naturel non nul est le produit des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à ; elle est notée .
On convient de plus que .
Remarque : Un arrangement des n éléments d’un ensemble E à n éléments est appelé une permutation des éléments de E. Il y a permutations de .
À noter
Pour tout entier naturel n :
II) Combinaisons
Définition : Soit . On appelle combinaison de éléments d’un ensemble comportant éléments, toute partie de possédant éléments.
Théorème : Soit et entier, . Le nombre de combinaisons de éléments d’un ensemble à éléments est ou encore .
Ce nombre est noté qu’on lit « parmi ».
Valeurs particulières et propriétés
Pour tous entiers naturels et , :
; ; et
Cette relation permet de construire le triangle de Pascal qui donne la valeur des pour des petites valeurs de :
Méthodes
1) Déterminer un nombre de k-uplets
On dispose de 10 couleurs pour fabriquer un drapeau tricolore de trois bandes horizontales. Combien de drapeaux différents pourra-t-on fabriquer ?
Conseils
Identifiez la taille des k-uplets, c’est-à-dire , et l’ensemble des éléments pouvant former ces k-uplets.
Solution
Pour fabriquer un drapeau tricolore il faut choisir trois couleurs différentes parmi les 10 couleurs et colorier les bandes du drapeau, par exemple de haut en bas, à l’aide de ces trois couleurs.
2 Calculer à l’aide de combinaisons
a. On désire former une équipe de 15 élèves dans une classe qui en comporte 20. Combien d’équipes différentes pourrait-on former ?
b. Calculer et . En déduire , , et .
Conseils
On rappelle que est le nombre de choix de objets parmi .
Solution
a. Il y a manières de choisir 15 élèves cartes parmi 20.
Or, par symétrie et .
b. On a et, par symétrie,
.
En utilisant la symétrie puis la relation de Pascal :
;