Apprendre à utiliser de "drôles" de repères utiles dans les exercices

En seconde, les repères utilisés sont souvent orthogonaux, voire orthonormés.
Toutefois, pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie, il peut être intéressant de définir un repère du plan adapté au contexte.

I. Repère défini par un triplet de points

Définition

Trois points distincts et non alignés $O$, $I$ et$J$du plan forment un repère du plan, noté $(O ; I, J)$.

3 points distincts et non alignés suffisent à définir un repère (O; I, J) du plan

$O$ est le point origine ; ses coordonnées sont toujours $(0 ; 0)$
Les droites $(OI)$ et $(OJ)$ supportent respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Les longueurs $OI$et $OJ$ sont les unités qui permettent de graduer les axes sécants : elles donnent les unités sur chacun des axes.

Exemple :

$1.$ Dans le plan, placer au hasard 3 points non alignés $O, L et M$.
Construire le point $J$, milieu du segment $[OM]$, et le point $K$ milieu du segment $[OL]$.

$2.$ On se place maintenant dans le repère $(O; L, M)$. Préciser les coordonnées des points $O, L, M, J$et$K.$

On trace les axes des abscisses et des ordonnées, et on note les graduations, sachant que $OL=OM=1$.
$O(0;0)$ ; $L(1;0)$ ; $M(1;0)$ ; $J(0;0.5)$ ; $K(0.5;1)$

$3.$ Placer le point $I$ tel que $OJIK$ soit un parallélogramme, puis préciser les coordonnées de $I$.

Avec les pointillés de construction pour placer le point $I$, il est aisé d'en déduire les coordonnées : $I(0.5 ; 0.5)$

II. Repère défini par un point et 2 vecteurs non colinéaires

Définition

Un repère (ou repère cartésien) du plan est un triplet $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ où $O$ est un point, et $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont deux vecteurs non colinéaires.

$O(0;0)$ est le point origine.

$(O; \overrightarrow{i})$ et $(O; \overrightarrow{j})$ sont respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Les normes (longueur) des vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ servent de référence pour graduer les axes sécants.
--> Remarque : $\parallel \overrightarrow{i} \parallel$ se lit norme du vecteur.

III. Des repères "plus classiques"

Orthogonal, orthonormé, ortho : dérivé du grec orthogônios, « rectangulaire » , ce qui est perpendiculaire, qui forme des angles droits

III. Un exemple

Le plan est muni du repère cartésien $(O\;; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$

Tracer et graduer les axes des abscisses et des ordonnées.

Déterminer les coordonnées des points $O, I, J, A, B, C et D$

Placer les points suivants : $E(-1 ; -1) ; F(-2 ; -2) ; G(1 ; -1.5)$ et $H(3/2 ; 5/2)$

Dans le repère, la droite $(O; \overrightarrow{OI})$ est l'axe des abscisses et la droite $(O; \overrightarrow{OJ})$ est l'axe des ordonnées.
La norme du vecteur $\overrightarrow{OI}$ correspond à sa longueur ;
$OI$est la distance unité de l'axe des abscisses, donc$OI = 1$ ; de même, $OJ$ est la distance unité sur l'axe des ordonnées et $OJ = 1$.
On peut ainsi graduer les deux axes.

Solution (se référer au dessin ci-après)

Origine $O(0 ;0)$ ; $I(1 ;0)$ ; $J(0 ;1)$

Explications pour le point $A$ :

pour lire son abscisse : on trace en pointillés un segment parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point A : à l'intersection avec l'axe des abscisses, on lit $3$.

pour lire son ordonnée : on trace en pointillés un segment parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $A$ : à l'intersection avec l'axe des ordonnées, on lit $1$ d'où $A(3 ; 1)$

Dans un repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombres réels (x ; y)
tels que $\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$
Le couple (x ; y) représente les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$. Ces coordonnées s'écrivent également
en colonne $\begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix}$

Exemple : En reprenant l'exercice ci-dessus, on peut écrire :
$\overrightarrow{OC} = -2 \overrightarrow{OI} + 3 \overrightarrow{OJ}$

$\overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ}$