Annales - Bac 2025 Bénin série F

Durée : 4 heures

$\bullet$ Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

$\bullet$ Seules les traces écrites figurant sur la copie seront prises en compte.

$\bullet$ Une attention particulière sera portée à la clarté et à la précision des raisonnements.

$\bullet$ Seules les calculatrices non-graphiques et non-programmables sont autorisées.

Exercice 1

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies sur $\mathbb N$ par :

$\left\lbrace\begin{matrix}u_0=-2\\u_{n+1}=\dfrac13\,u_n+2\end{matrix}\right.\qquad \text{ et }\quad v_n=u_n+k\quad \text{ avec }\quad k=-\displaystyle\int_1^e\dfrac{6\ln x}{x}\,\text dx.$

1. Justifie que $k=-3$.

2. Démontre que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique puis précise sa raison et son premier terme.

3. Exprime $u_n$ en fonction de $n$.

4. Calcule $S=u_0+u_1+u_2+\dots+u_{2025}$.

Exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O~;~\vec u,\vec v)$.

On considère l'équation $(E)~:~z^3-8z^2+32z-64=0$.

On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points du plan complexe dont les affixes respectives $a$, $b$ et $c$ sont les solutions de l'équation $(E)$ avec $\text{Im}(a)\leq \text{Im}(b)$ et $c\in\mathbb R$.

Soit $(H)$ l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z=x+\text i y$, $(x,y)\in\mathbb R^2$ telle que : $|z+c|=\sqrt5~\text{Re}(z)$.

1- a- Vérifie que $4$ est une solution de l'équation $(E)$.

1- b- Résous dans $\mathbb C$, l'équation $(E)$ puis justifie que $a=2-2\text i\sqrt3$ et $b=2+2\text i\sqrt3$.

2- a- Écris sous forme exponentielle le nombre complexe $\dfrac{a-c}{b-c}$.

2- b- Déduis-en la nature du triangle $ABC$.

3- a- Démontre que $M\in(H)\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\geq0\\4x^2-y^2-8x-16=0\end{matrix}\right.$

3- b- Justifie que $(H)$ est une portion d'une hyperbole $\Gamma$ dont tu préciseras l'excentricité.

3- c- Construis $(H)$ dans le repère $(O~;~\vec u,\vec v)$.

Problème

Le nombre $\text e$ désigne la base de la fonction logarithme népérien. On considère la fonction $f$ de $\mathbb R$ vers $\mathbb R$ définie par : $f(x)=\dfrac{e^x}{u(x)}$, où $u$ est la solution de l'équation différentielle $(E_1):~y''-y=-x$ vérifiant : $u'(0)=2u(0)=2$.

On désigne par $(\mathcal C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O~;~\vec i, \vec j)$.

1- Vérifie que la fonction $g:x\mapsto x$ est une solution de $(E_1)$.

2- Résous l'équation différentielle $(E_2):~y''-y=0$.

3- a- Démontre qu'une fonction $h$ dérivable sur $\mathbb R$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si la fonction $(h-g)$ est une solution de $(E_2)$.

3- b- Déduis-en que pour tout nombre réel $x$, $u(x)=x+e^x$.

4- a- Justifie que l'équation $u(x)=0$ admet dans $\mathbb R$ une unique solution $\alpha$ telle que $-1<\alpha<0$.

4- b- Déduis-en l'ensemble de définition de $f$.

5- Étudie les variations de $f$ puis dresse son tableau de variations.

6- Précise les asymptotes de $(\mathcal C)$.

7- Construis $(\mathcal C)$ dans le repère orthonormé $(O~;\vec i, \vec j)$. Tu prendras $-0{,}57$ pour valeur approchée.

Corrigé

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