Travail d’une force

Lorsqu’une force est appliquée à un système en mouvement, elle réalise un travail. Dans le cas d’une force constante, une expression simple permet de calculer ce travail.

I. Travail d’une force

Une force travaille à condition que le système soit en mouvement et que la direction de la force ne soit pas perpendiculaire au déplacement. Le travail d’une force constante $\overrightarrow{F}$ pour un déplacement de son point d’application entre deux points A et B est égal au produit scalaire de $\overrightarrow{F}$ par $\overrightarrow{AB}$ :

$W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}=F\times AB\times\cos\alpha$

$W_{AB}(\overrightarrow{F})$ en joules (J) ; $F$ intensité de la force en newtons (N) ; $AB$ longueur du déplacement en mètres (m) ; $\alpha$ angle entre $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{AB}$ en degrés ou radians (° ou rad).

Selon la valeur de l’angle $\alpha$, le travail peut être positif, négatif ou nul.

Exemple : le travail des forces de frottement est résistant :

$W_{AB}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{AB}=-f\times AB \lt 0$.

II. Travail du poids

Lorsque le système de masse $m$ passe d’un point A d’altitude $z_A$ à un point B d’altitude $z_B$, le travail du poids $W_{AB}(\overrightarrow{P})$ dépend seulement de la variation d’altitude entre les points de départ et d’arrivée (et non du chemin suivi) :

À noter (repère orienté vers le HAUT)

Si le système descend, $(z_A - z_B) \lt 0$, le travail est moteur : le poids favorise le mouvement du système. Si le système s’élève, $(z_A - z_B) \lt 0$, le travail est résistant : le poids « s’oppose » au mouvement du système.

Méthodes

1)  Calculer le travail d’une force constante

Un enfant tire un jouet à l’aide d’une corde sur une distance de $1,0 \, \text{m}$. La force exercée par la corde sur le jouet vaut $10 \, \text{N}$. L’angle entre la corde et le jouet est de $30^o$.

Déterminer la valeur du travail de la force $\overrightarrow{F}$ exercée par la corde sur le jouet.

Conseils

Appliquez la formule : le travail de la force est égal au produit de son intensité $(F)$, de la distance parcourue $(AB)$ et du cosinus de l’angle $(\alpha)$ entre $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{AB}$.

Solution

$W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}=F\times AB\times\cos \alpha=10\times1,0\times\cos(30)=8,7 \, \text{J}$.

2) Calculer le travail du poids et des forces de frottements

Un enfant, de masse $m = 30 \, \text{kg}$, glisse sur une piste enneigée, inclinée de $\beta = 15^o$ par rapport à l’horizontale et longue de $4,0 \, \text{m}$. Les forces de frottements provoquées par la neige ont une intensité de $47 \, \text{N}$.

a. Calculer le travail effectué par le poids de l’enfant lors de la descente.

b. Calculer le travail des forces de frottements de l’enfant lors de la descente.

Conseils

a. Faites un schéma pour bien comprendre la situation. L’intensité du poids est égale au produit de la masse du système et de l’intensité de pesanteur : $P = m \times g$ avec $g = 9,81 \, \text{N} . \text{kg}^{-1}$.

b. Les frottements s’opposent au mouvement (elles sont toujours colinéaires au vecteur vitesse et de sens contraire), leur travail doit donc être négatif.

Solution

a. $W_{AB}(\overrightarrow{P})=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{AB}$

$W_{AB}(\overrightarrow{P})=m\times g\times(z_A-z_B)$

Graphiquement :

$z_A = AB \times \sin \beta$ et $z_B = 0$.

$W_{AB}(\overrightarrow{P})=m\times g\times(AB\times\sin\beta)=30\times9,81\times(4,0\times\sin15°)=7,7\times10^2 \, \text{J}$.

b. $W_{AB}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{AB}=f\times AB\times\cos\alpha$

avec $\alpha$ angle entre $\overrightarrow{f}$ et $\overrightarrow{AB}$ soit $\alpha = 180°$ donc $\cos \alpha = -1$.

$W_{AB}(\overrightarrow{f})=-f\times AB=-47\times4,0=-1,9\times10^2 \, \text{J}$.