Statique et dynamique - Les lois de Newton

$\bullet\quad$Cette fiche précise les lois de la mécanique de Newton, déjà introduites en classe de 2^de et de 1^re, et présente leur application à l'étude de l'équilibre ou du mouvement d'un système soumis des forces.

$\bullet\quad$Elle est la suite logique de la fiche de cinématique :

Décrire un mouvement : cinématique du point

I. Rappels

1. Centre de masse (ou d'inertie) & centre de gravité

$\bullet\quad$Les lois de la mécanique privilégient certains points lors de l'étude du mouvement.

$\bullet\quad$Ces points ont en général une trajectoire plus simple que celle des autres points formant le système.

$\bullet\quad$Centre de masse :

Pour un système homogène (= masse volumique constante) ou qui possède une symétrie centrale, il correspond au centre géométrique : par exemple, le centre de masse d'une plaque métallique (homogène) de forme carrée est le centre du carré. On parle aussi de centre d'inertie pour désigner ce point.

$\bullet\quad$Centre de gravité :

Le centre de gravité est défini comme le point du système où s'applique la résultante des forces de gravitation (c'est-à-dire son poids). Il est souvent noté G.

$\bullet\quad$Remarque : au lycée, le centre de gravité et le centre de masse (ou centre d'inertie) des systèmes étudiés sont supposés confondus : c'est la raison pour laquelle on utilise les 3 termes indistinctement.

2. Système isolé & système pseudo-isolé

$\bullet\quad$Système isolé :

Un système physique est isolé s'il n'est soumis à aucune force.

$\bullet\quad$Système pseudo-isolé :

Un système physique est pseudo-isolé s'il est soumis à des forces qui se compensent, c'est-à-dire à des forces dont la somme (vectorielle) est nulle.

II. Les lois de Newton

1. Référentiels galiléens

$\bullet\quad$La notion de référentiel a déjà été abordée dans la fiche :

Décrire un mouvement : cinématique du point

$\bullet\quad$On admettra que :

$\quad\circ\quad$ Le référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen pour étudier les mouvements ayant lieu dans le système solaire ;

$\quad\circ\quad$ Le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen pour les mouvements de satellites autour de la Terre ;

$\quad\circ\quad$ Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour les mouvements à proximité de la surface terrestre si la durée du mouvement est très inférieure à $24~h$.

$\bullet\quad$D'autre part, on démontre qu'un référentiel en translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen, est aussi galiléen.

$\bullet\quad$Les référentiels (fortement) accélérés ou en rotation (par rapport à un référentiel galiléen) ne sont pas galiléens : par exemple le référentiel lié à un manège ou à un véhicule qui freine.

2. Première loi de Newton (ou principe d'inertie)

$\bullet\quad$1^re loi de Newton (principe d'inertie) :

Il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels le centre d'inertie G d'un système isolé ou pseudo-isolé a un vecteur vitesse $\overrightarrow{v}_{\text{G}}$ constant.

$\bullet\quad$Conséquences :

$\quad\circ\quad$ si $\overrightarrow{v}_{\text{G}} = \overrightarrow{0}$, $G$ est immobile et le reste.

$\quad\circ\quad$ si $\overrightarrow{v}_{\text{G}} \neq \overrightarrow{0}$, $G$ est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.

3. Deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique)

$\bullet\quad$2^e loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) :

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquée à un système de masse $m$ constante, est égale au produit de cette masse et du vecteur accélération $\overrightarrow{a_{\text{G}}}$ du centre d'inertie $G$ du système :

$\boxed{\sum \overrightarrow{\text{F}_{\text{ext}}} = m ~\overrightarrow{a_{\text{G}}}}$

4. Troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques)

$\bullet\quad$3^e loi de Newton (principe des actions réciproques) :

Quand un corps A exerce sur un corps B une force $\overrightarrow{F}_{A/B}$, simultanément B exerce sur A la force $\overrightarrow{F}_{B/A}$ opposée à $\overrightarrow{F}_{A/B}$.

$\bullet\quad$Remarque : $\overrightarrow{F}_{A/B}$ et $\overrightarrow{F}_{B/A}$ ont la même droite d'action et $\overrightarrow{F}_{A/B} = -\overrightarrow{F}_{B/A}$. Les vecteurs $\overrightarrow{F}_{A/B}$ et $\overrightarrow{F}_{B/A}$ ont donc :

$\quad\circ\quad$ La même direction ;

$\quad\circ\quad$ La même valeur ;

$\quad\circ\quad$ Mais un sens contraire.

III. Étude de l'équilibre des corps (statique)

La première application des lois de Newton est la statique des corps, c'est-à-dire l'étude de l'équilibre des corps.

1. Condition d'équilibre

$\bullet\quad$Dans un référentiel galiléen, le principe d'inertie stipule qu'un système immobile reste immobile tant que les forces se compensent.

$\bullet\quad$On en déduit une condition d'équilibre d'un système :

$\boxed{\sum \overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}}$

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Cette condition est suffisante pour un point matériel, mais pour un solide il y a une deuxième condition pour maintenir l'équilibre (hors programme).

$\quad\circ\quad$ Un système soumis à une seule force ne peut donc pas être à l'équilibre !

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION !}}$ Si un corps est déjà lancé à une certaine vitesse $\overrightarrow{v}$, il gardera cette vitesse tant que les forces se compensent (en vertu du principe d'inertie) !

2. Application

$\textcolor{purple}{\text{a. Enoncé}}$

$\bullet\quad$Une caisse est posée sur un plan incliné :

$\bullet\quad$Questions :

$\textcolor{purple}{\text{1)}}$ Si le sol est très glissant, les forces de frottements sont négligeables. Faire le bilan des forces exercées sur la caisse et montrer qu'elle ne peut pas rester en équilibre.

$\textcolor{purple}{\text{2)}}$ On suppose maintenant que le sol n'est pas glissant. Calculer la force de frottement nécessaire à maintenir la caisse en équilibre sur le plan incliné.

$\bullet\quad$Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre supposé galiléen et muni du repère cartésien $(G,x,y)$.

$\bullet\quad$Données :

$\quad\circ\quad$ Masse de la caisse : $m = 20~kg$ ;

$\quad\circ\quad$ Inclinaison de la pente : $a = 20^o$ ;

$\quad\circ\quad$ Accélération de la pesanteur : $g \approx 10~m/s^2$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Solution}}$

Le système étudié est la caisse.

$\textcolor{purple}{\text{1)}}$ En l'absence de frottement, la caisse est soumise à deux forces :

$\quad\circ\quad$ Son poids $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$, vertical dirigé vers le bas ;

$\quad\circ\quad$ La réaction normale $\vec{R}$ du plan incliné, dirigée vers le haut (voir figure ci-dessous).

Ces deux forces n'ayant pas la même direction, elles ne peuvent pas se compenser ($\vec{P} + \vec{R} \neq \vec{0}$) : la condition d'équilibre n'étant pas respectée, la caisse ne peut rester au repos et va dévaler la pente.

$\textcolor{purple}{\text{2)}}$ S'il y a frottement, la caisse est soumise à 3 forces :

$\quad\circ\quad$ Son poids $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ ;

$\quad\circ\quad$ La réaction normale $\vec{R}$ du plan incliné ;

$\quad\circ\quad$ Et la force de frottement $\vec{f}$, qui retient la caisse (voir figure ci-dessous).

Pour maintenir la caisse en équilibre il faut que ces 3 forces se compensent, c'est-à-dire que leur somme soit nulle :

$\boxed{ \overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{f} = \overrightarrow{0}}$

$\bullet\quad$Calcul de la force de frottement :

Il faut projeter la relation précédente sur l'axe $(G,x)$ ce qui permet d'éliminer la réaction $\vec{R}$. Sur $(G,x)$ :

$\quad\circ\quad$ La projection de $\overrightarrow{f}$ vaut $-f$ (car $\overrightarrow{f} = -f \; \overrightarrow{i}$) ;

$\quad\circ\quad$ La projection de $\overrightarrow{P}$ vaut $P_x = P \times sin(a) = m \times g \times sin(a)$ ;

$\quad\circ\quad$ Et la projection de $\overrightarrow{R}$ est nulle (car la direction de $\overrightarrow{R}$ est perpendiculaire à l'axe de projection).

La projection sur $(G,x)$ de la relation $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{f} = \overrightarrow{0}$ permet donc d'écrire :

$m \cdot g \cdot sin(a) + 0 - f = 0 \Rightarrow \boxed{f = m \cdot g \cdot sin(a)}$

$\bullet\quad$Application numérique : $\boxed{f = 20 \times 10 \times sin(20^o) \approx 68 ~ N}$.

IV. Dynamique des corps

1. Introduction

$\bullet\quad$L'application la plus importante des lois de Newton est la dynamique des corps, c'est-à-dire l'étude du mouvement des corps soumis à des forces.

$\bullet\quad$En effet, la 2^e loi de Newton relie l'accélération du centre d'inertie d'un système à la résultante des forces appliquées, ce qui permet deux grands types de raisonnement :

$\quad\circ\quad$ Connaissant les forces, on en déduit l'accélération, et il est alors possible de déterminer les équations horaires du mouvement, par intégrations successives (si on précise les conditions initiales).

$\quad\circ\quad$ Inversement, connaissant la trajectoire et la vitesse, il est alors possible de déduire des informations sur l'accélération puis sur les forces.

2. Méthode de résolution d'un problème en dynamique

$\bullet\quad$Démarche à suivre :

Lorsqu'on aborde un problème de mécanique il est primordial de suivre systématiquement la démarche qui suit :

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 1.}}$ Faire un croquis / schéma de la situation.

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 2.}}$ Définir le système d'étude : "le système étudié est ... de masse ... et de centre d'inertie ...".

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 3.}}$ Choisir un référentiel et définir un repère d'étude (le représenter sur le croquis / schéma).

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 4.}}$ Faire le bilan des forces appliquées au système et les représenter sur le croquis / schéma.

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 5.}}$ Appliquer la 2^e loi de Newton pour trouver la relation entre l'accélération du mobile et la résultante des forces appliquées au système.

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 6.}}$ Projeter cette relation (vectorielle) sur un ou plusieurs axes afin d'obtenir les équations du mouvement.

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 7a.}}$ Si les forces sont connues : intégrer les composantes de l'accélération $(a_x ~,~ a_y)$, puis celles de la vitesse $(v_x~,~ v_y)$ pour obtenir les lois horaires du mouvement ($x(t)$ et $y(t)$) en exploitant les conditions initiales (voir § IV.3).

$\quad\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{Etape 7b.}}$ Si l'accélération est connue : il est alors possible d'en déduire des informations sur les forces (voir § IV.4).

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Très souvent l'énoncé donne déjà des éléments de réponse (par exemple le repère d'étude) ;

$\quad\circ\quad$ Il faut exploiter les informations connues pour simplifier l'étude. Par exemple :

$\Longrightarrow$ si le mouvement est rectiligne, la direction de la vitesse et celle de l'accélération sont connues,

$\Longrightarrow$ si le mouvement est circulaire uniforme, l'expression de l'accélération est connue (dans le repère de Frenet).

$\quad\circ\quad$ Si toutes les forces sont connues, le mouvement est complètement déterminé dès lors que les conditions initiales sont précisées.

$\quad\circ\quad$ Si une force est inconnue (réaction du sol par exemple) il est possible malgré tout de projeter sur un axe perpendiculaire à cette force, ce qui l'élimine lors de la projection.

3. Etude du mouvement d'une luge

$\textcolor{purple}{\text{a. Enoncé}}$

$\bullet\quad$Jean fait faire de la luge à son frère Paul sur un sol horizontal. Il tire sur la ficelle avec une force $\overrightarrow{F}$ de $50 ~ N$ :

$\bullet\quad$On souhaite étudier le mouvement du système formé par la luge et Paul, qu'on assimilera à son centre d'inertie $G$, de masse totale $m$.

$\bullet\quad$On négligera par ailleurs les frottements (dus à la neige et à l'air).

$\bullet\quad$Questions :

$\textcolor{purple}{\text{1)}}$ Quel référentiel galiléen peut-on choisir pour étudier le mouvement de la luge ? Justifier.

$\textcolor{purple}{\text{2)}}$ Faire le bilan des forces appliquées au système.

$\textcolor{purple}{\text{3)}}$ Exprimer le vecteur accélération du point $G$ dans repère cartésien $(O~,~x~,~y)$ en fonction de $F$, $m$ et $a$, en appliquant la 2^e loi de Newton.

$\textcolor{purple}{\text{4)}}$ Établir l'équation horaire du mouvement, sachant qu'à l'instant $t = 0$, la luge (c'est-à-dire le point $G$) est au repos en $O$ et Jean commence à tirer.

$\textcolor{purple}{\text{5)}}$ Quelle est la position de $G$ à l'instant $t = 3 ~ s$ ? Sa vitesse ?

$\bullet\quad$Données :

$\quad\circ\quad$ Masse du système {luge + enfant} : $m = 30 ~ kg$ ;

$\quad\circ\quad$ Angle de la ficelle avec l'axe horizontal : $\alpha = 20^o$ (noté $a$ sur les figures) ;

$\quad\circ\quad$ Intensité de la pesanteur : $g \approx 10 m/s^2$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Solution}}$

$\textcolor{purple}{\text{1)}}$ Le mouvement étudié a lieu à la surface de la terre et dure bien moins de $24~h$ : on peut donc choisir le référentiel terrestre et le supposer galiléen.

$\textcolor{purple}{\text{2)}}$ Le système est soumis à 3 forces (voir figure ci-dessous) :

$\quad\circ\quad$ Son poids $\overrightarrow{P} = m \cdot \overrightarrow{g}$ ;

$\quad\circ\quad$ La réaction normale du sol $\overrightarrow{R}$ ;

$\quad\circ\quad$ Et la force $\overrightarrow{F}$ exercée par Jean.

Remarque : on peut représenter toutes les forces en $G$ car le système est assimilé à un point matériel.

$\textcolor{purple}{\text{3)}}$ D'après la 2^e loi de Newton, nous avons la relation suivante :

$\boxed{\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a_G}}$

où $\overrightarrow{a_G} ~ (a_x~,~a_y)$ est le vecteur accélération de $G$.

Nous savons par ailleurs que $G$ suit une trajectoire rectiligne selon l'axe $(O~,~x)$. Son accélération est donc dirigée selon $(O~,~x)$ (propriété du mouvement rectiligne) et nous en déduisons que $a_y$ est nul.

Il reste à calculer $a_x$ en projetant les forces sur l'axe $(O~,~x)$ :

Sur $(O~,~x)$ (voir figure) :

$\quad\circ\quad$ La projection de $\overrightarrow{F}$ vaut $F_x = F \cdot \cos(\alpha)$ ;

$\quad\circ\quad$ Et la projection de $\overrightarrow{P}$ et de $\overrightarrow{R}$ est nulle (car les directions de ces vecteurs sont perpendiculaires à l'axe de projection).

La projection sur $(O,x)$ de la relation $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a_G}$ permet donc d'écrire :

$0 + 0 + F \cdot \cos(\alpha) = m . a_x \Rightarrow a_x = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha)}{m}$

L'expression de l'accélération est donc :

$\overrightarrow{a_G} ~ (a_{x} = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha)}{m} ~,~ a_y=0 )$

$\textcolor{purple}{\text{4)}}$ Pour trouver les lois horaires, c'est-à-dire l'expression des coordonnées de $G~( x(t)~,~y(t))$ on peut tout d'abord remarquer que $y_G = 0$ puisque $G$ a une trajectoire rectiligne selon $(O,x)$.

Pour calculer $x(t)$, il faut partir de l'expression de l'accélération :

$\boxed{a_{x}(t) = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha)}{m} = \text{constante}}$

Une première intégration par rapport à $t$ donne:

$\boxed{v_{x}(t) = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha) }{m} \cdot t + C_1}$

où $C_1$ est une constante déterminée par la vitesse initiale de $G$ (à $t = 0$) qui est nulle : on en déduit que $v_{x}(0) = C_1 = 0$ et finalement :

$\boxed{v_{x}(t) = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha) }{m} \cdot t }$

Une seconde intégration nous donne alors $x(t)$ :

$\boxed{x(t) = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha)}{2m} \cdot t^2 + C_2}$ où $C_2$ est une constante déterminée par la position initiale de $G$ (à $t = 0$) qui est aussi nulle (car $G$ est en $O$) : on en déduit que $x(0) = C_2 = 0$ et finalement :

$\boxed{x(t) = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha) }{2m} \cdot t^2}$

Les équations horaires du mouvements sont donc :

$G : \left\lbrace\begin{matrix} x(t) = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha) }{2m} \cdot t^2 \\[6pt] y(t) = 0 \end{matrix} \right.$

$\textcolor{purple}{\text{5)}}$ A l'instant $t = 3 ~ s$,

$\begin{array}{l}x(3) = \dfrac{F \cdot \cos(\alpha)\times 3^2}{2m}= \dfrac{50 \times \cos(20^\circ) \times 9}{2 \times 30} \\x(3) = 7~m\end{array}$

et

$v_{x}(3) = \dfrac{50 \times \cos(20°) \times 3}{30} = 4,7 ~ m/s$

4. Calcul d'une force de frottement

$\textcolor{purple}{\text{a. Enoncé}}$

$\bullet\quad$On considère une moto qui freine sur une distance d puis s'arrête. La moto est assimilé à un point matériel $G$ de masse $m$ et son mouvement est supposé uniformément varié, d'accélération $-a ~ (a \gt 0)$.

$\bullet\quad$Pour l'étude on utilisera un repère $(O ~,~ \vec{i})$ tel que la moto se déplace sur l'axe des abscisses dans le sens des $x$ croissants :

$\bullet\quad$A l'instant $t = 0$ la moto passe en $O$ avec la vitesse $v_0$ et commence à freiner.

$\bullet\quad$Questions :

$\textcolor{purple}{\text{1)}}$ Quelle est l'équation horaire $x(t)$ du mouvement de la moto ? et l'expression de sa vitesse $v(t)$ ?

$\textcolor{purple}{\text{2)}}$ La moto parcourt une distance $d$ avant de s'immobiliser : en déduire une relation entre $a$, $d$ et $v_0$. Que vaut $a$ ?

$\textcolor{purple}{\text{3)}}$ Quelle est l'expression du vecteur accélération dans le repère $(O , \vec{i})$

$\textcolor{purple}{\text{4)}}$ Faire le bilan des forces qui s'appliquent sur la moto durant le freinage. On supposera que la moto subit une force de frottement $\overrightarrow{f}$ constante opposée à sa vitesse.

$\textcolor{purple}{\text{5)}}$ En appliquant la 2^e loi de Newton, calculer la valeur de $f$.

$\bullet\quad$Données :

$\quad\circ\quad$ Masse de la moto : $m = 120 ~ kg$ ;

$\quad\circ\quad$ Distance de freinage : $d = 100 ~ m$ ;

$\quad\circ\quad$ Vitesse initiale : $v_{0} ~ = 40 ~ m/s$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Solution}}$

$\textcolor{purple}{\text{1)}}$ Le mouvement de la moto est rectiligne uniformément varié selon $(O~,~x)$ et on sait que :

$\boxed{a_x = -a = \text{constante}}$

En intégrant une première fois par rapport au temps $t$ on trouve :

$\boxed{v_x(t) = v(t) = -at + v_0}$ où $v_0$ est la vitesse initiale de la moto.

En intégrant une seconde fois on obtient :

$x(t) = \dfrac{-a \cdot t^2}{2} + v_0 \; t + x_0$ où $x_0$ est la position initiale de la moto qui vaut $0$

car la moto est en $O$ à $t = 0$.

On obtient finalement l'équation horaire du mouvement : $\boxed{x(t) = \dfrac{-a \cdot t^2}{2} + v_0 \cdot t}$.

$\textcolor{purple}{\text{2)}}$ Soit $t_1$ la date à laquelle la moto s'immobilise. On peut alors écrire :

$x(t_1) = d$ et $v(t_1) = 0$

ce qui nous fournit les deux égalités :

$\boxed{d = \dfrac{-a \cdot t_1^2}{2} + v_0 \cdot t_1}$ et $\boxed{-a . t_1 + v_0 = 0}$

on en déduit que $t_1 = \dfrac{v_0}{a}$ et en reportant dans l'autre égalité :

$d = \dfrac{-v_0^2}{2a} + \dfrac{v_0^2}{a} = \dfrac{v_0^2}{2a}$ ou encore

$\boxed{2a \cdot d = v_0^2 \Rightarrow a = \dfrac{ v_0^2}{2d} = 8 ~ ms^{-2}}$.

$\textcolor{purple}{\text{3)}}$ Le vecteur accélération a pour expression : $\vec{a} = -a ~ \vec{i} = - \dfrac{ v_0^2}{2d} \; \vec{i}$.

$\textcolor{purple}{\text{4)}}$ La moto est soumise à 3 forces (voir figure ci-dessous) :

$\quad\circ\quad$ Son poids $\overrightarrow{P} = m \cdot \overrightarrow{g}$ ;

$\quad\circ\quad$ La réaction normale du sol $\overrightarrow{R}$ ;

$\quad\circ\quad$ Et la force de frottement $\overrightarrow{f}$.

$\textcolor{purple}{\text{5)}}$ D'après la 2^e loi de Newton, nous avons la relation suivante :

$\boxed{\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{f} = m \cdot \overrightarrow{a}}$

où $\overrightarrow{a} = -a ~ \overrightarrow{i}$ est le vecteur accélération de $G$.

Si nous projetons cette relation sur l'axe $(O~,~x)$, nous obtenons :

$0 + 0 -f = -m . a$ (car le poids et la réaction sont perpendiculaires à l'axe de projection).

On en déduit la valeur de $f$ : $\boxed{f = m \cdot a = 120 \times 8 = 960 ~ N}$

Remarque :

En projetant la relation sur l'axe vertical (orienté positivement vers le haut), on trouve la réaction $R$.

En effet la projection des forces sur la verticale donne : $R - P + 0 = m \cdot a_y = 0$ car l'accélération est dirigée selon $(O~,~x)$.

On en déduit : $\boxed{R = P = m \cdot g = 120 \times 10 = 1200 ~ N}$.

_{= Merci à krinn et gbm pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}